Тригонометрические неравенства и методы их решения

Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Методы решений неравенств:

1. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.
2. Графическое решение тригонометрических неравенств.
3. Решение неравенств методом интервалов.

При решении более сложных тригонометрических неравенств пользуются двумя основными приемами:

I. Данное неравенство с помощью равносильных преобразований сводится к простейшим тригонометрическим неравенствам. При выполнении преобразований пользуются теми же приемами, что и при решении тригонометрических уравнений.

II. Применяется метод интервалов для определения числовых промежутков, в которых содержатся решения неравенства. Предварительно решается соответствующее тригонометрическое уравнение и устанавливаются интервалы знакопостоянства с учетом области определения неравенства.

Неравенство \(sinx>a\)

1. При \(|a|≥1\) неравенство \(sinx>a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
2. При \(a<−1\) решением неравенства \(sinx>a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
3. При \(−1≤a<1\) решение неравенства \(sinx>a\) выражается в виде \(arcsin a + 2\pi n < x < \pi -arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(sinx≥a\)

1. При \(|a|>1\) неравенство \(sinx\ge a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
2. При \(a\le−1\) решением неравенства \(sinx\ge a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
3. При \(-1<a<1\) решение неравенства \(sinx\ge a\) выражается в виде \(arcsin a + 2\pi n \le x \le \pi - arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).
4. Случай \(a=1  \): \(x = \frac{\pi}2 +2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(sinx<a\)

1. При \(a>1\) решением неравенства \(sinx<a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
2. При \(a≤−1\) у неравенства \(sinx<a\) решений нет: \(x\in \varnothing\).
3. При \(-1<a\leq1\) решение неравенства \(sinx<a\) лежит в интервале \(-\pi - arcsin a + 2\pi n < x < arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(sinx≤a\)

1. При \(a≥1\) решением неравенства \(sinx≤a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
2. При \(a<−1\) неравенство \(sinx≤a\) решений не имеет: \(x \in \varnothing\).
3. При \(-1<a<1\) решение нестрогого неравенства \(sinx≤a\) находится в интервале \(-\pi - arcsin a + 2\pi n \le x \le arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).
4. Случай \(a=−1\): \(x = -\frac{\pi}2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(cosx>a\)

1. При \(a≥1\) неравенство \(cosx>a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
2. При \(a<−1\) решением неравенства \(cosx>a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
3. При \(−1≤a<1\) решение неравенства \(cosx>a\) имеет вид \(-arccos a + 2\pi n < x < arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(cosx≥a\)

1. При \(a>1\) неравенство \(cosx≥a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
2. При \( a≤−1\) решением неравенства \(cosx≥a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
3. При \(-1<a<1\) решение неравенства \(cosx≥a\) имеет вид \(-arccos a + 2\pi n \le x \le arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).
4. Случай \(a=1\): \(x = 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(cosx<a\)

1. При \(a>1\) неравенство \(cosx<a\) справедливо при любом действительном значении x: \(x\in \mathbb R\).
2. При \(a≤−1\) неравенство \(cosx<a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
3. При \(-1<a\leq1\) решение неравенства \(cosx<a\) записывается в виде \(arccos a + 2\pi n < x < 2\pi - arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(cosx≤a\)

1. При \(a≥1\) решением неравенства \(cosx≤a\) является любое действительное число: \(x\in \mathbb R\).
2. При \(a<−1\) неравенство \(cosx≤a\) не имеет решений: \(x\in \varnothing\).
3. При \(-1<a<1\) решение нестрогого неравенства \(cosx≤a\) записывается как \(arccos a + 2\pi n \le x \le 2\pi - arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).
4. Случай \(a=−1\): \(x = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(tgx>a\)

При любом действительном значении \(a\) решение строгого неравенства \(tgx>a\) имеет вид \(arctg a + \pi n < x < \frac{\pi}2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(tgx≥a\)

Для любого значения \(a\) решение неравенства \(tgx≥a\) выражается в виде \(arctg a + \pi n \le x < \frac{\pi}2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(tgx<a\)

Для любого значения \(a\) решение неравенства \(tgx<a\) записывается в виде \(-\frac{\pi}2 + \pi n < x < arctg a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(tgx≤a\)

При любом \(a\) неравенство \(tgx≤a\) имеет следующее решение: \(-\frac{\pi}2 + \pi n < x \le arctg a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(ctgx>a\)

При любом \(a\) решение неравенства \(ctgx>a\) имеет вид \(\pi n < x < arcctg a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(ctgx≥a \)

Нестрогое неравенство \(ctgx≥a\) имеет аналогичное решение \(\pi n < x \le arcctg a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(ctgx<a\)

Для любого значения \(a\) решение неравенства \(ctgx<a\) лежит в открытом интервале \(arcctg a + \pi n < x < \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Неравенство \(ctgx≤a\)

При любом \(a\) решение нестрогого неравенства \(ctgx≤a\) находится в полуоткрытом интервале \(arcctg a + \pi n \le x < \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\).

Пример. Решите неравенство: \(cosx>\frac12\).

Решение: Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть \(y=cosx \ и \ y=\frac12\). Выделим промежутки, на которых график функции косинус \(y=cosx\) расположен выше графика прямой \(y=\frac12\).

Найдем абсциссы точек \(x_1\ и \ x_2\) – точек пересечения графиков функций \(y=cosx\ и\ y=\frac12\), которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство: \(x_1=-arccos\frac12=-\frac{\pi}3; x_2=arccos\frac12=\frac{\pi}3\).

Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом \(2\pi\), ответом будут значения x из промежутков \((-\frac{\pi}3+2\pi k;\frac{\pi}3+2\pi k), \ k\in Z\).

Второй способ. Построим единичную окружность и прямую \(x=\frac12\) (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим \(P_{x_1}\ и \ P_{x_2}\) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше \(\frac12\). Найдем значение \(x_1 \ и \ x_2\), совершая обход против часовой стрелки так, чтобы \(x_1<x_2\):

\(x_1=-arccos\frac12=-\frac{\pi}3; x_2=arccos\frac12=\frac{\pi}3\).

Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы \((-\frac{\pi}3+2\pi k;\frac{\pi}3+2\pi k), \ k\in Z\).