Релятивистская кинематика

Для того чтобы получить представление о том, как работает релятивистская кинематика, получим релятивистскую формулу для величины порога в реакции взаимопревращения элементарных частиц, т. е. для минимальной кинетической энергии, необходимой для того, чтобы реакция, идущая с поглощением энергии, могла произойти. Заметим, что поскольку в этом параграфе мы будем использовать как понятие полной энергии частицы, так и понятие ее кинетической энергии, то буквой Е будем обозначать полную энергию, а буквой T – кинетическую энергию. Пусть частица 1 сталкивается с частицей 2, и в результате реакции между ними образуется n частиц \(1',2',\dots,n':1+2\rightarrow 1'+2'+_{\dots}+n'.\ (1)\).
Массы частиц обозначим как m₁, m₂, m'₁, m'₂, ..., m'n. Закон сохранения энергии в этой реакции, выраженный через массы и кинетические энергии частиц, имеет вид: \((T_1+T_2)+(m_1+m_2)c^2=(T'_1+T'_1+\dots\ +T'n)+(m'_1+m'_2+\dots\ +m'_n)c^2.(2)\)

Определим энергию реакции \(Q\): \(Q=(m_1+m_2)c^2-(m'_1+m'^2+\dots\ +m'_n)c^2.(3)\)

Закон сохранения энергии запишем в виде: \((T_1+T_2)=(T'_1+T'_2+\dots\ +T'_n)-Q.(3)\)

При \(Q>0\) (выделение энергии) реакция возможна при любом значении \(T_1+T_2,\) в том числе и нулевом (в этом случае = \(Q\)).

При \(Q<0\) (поглощение энергии) реакция возможна лишь при \(T_1+T_2>-Q=\mid Q\mid\). Таким образом, в этом случае реакция обладает энергетическим порогом \(E_{пор}\) (минимальным значением \(T_1+T_2\)), ниже которого она невозможна. В соответствии со сказанным имеем: \(E_{пор}=(T_1+T_2)_{min}=(T'_1+T'_2+\dots\ +T'_n)_{min}-Q.(4)\)

Величина порога зависит от системы координат. Она минимальна в системе центра инерции (СЦИ), где

\(E_{пор}(СЦИ)=-Q=\mid Q\mid.(5)\)

Пусть между двумя событиями в собственной системе отсчета, где события происходят в одной точке, прошло время т\(_0\), тогда в движущейся относительно нее со скоростью \(u\) ИСО интервал времени между этими событиями будет равным:

\(\tau = \frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\).
В ИСО, движущейся относительно собственной системы отсчета, интервал времени между событиями увеличивается, время замедляется.

Длина стержня l, измеренная в ИСО, относительно которой стержень движется со скоростью \(u\), будет равна:

\(l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\),
где l₀ – собственная длина стержня. Длина движущегося предмета сокращается в направлении движения.
Релятивистский закон сложения скоростей, направленных вдоль одной прямой:

\(v' = \frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}\).
Преобразования Лоренца при движении вдоль оси OX:

\(x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-v^2/c^2}},y'=y,z'=z, \\ \\\)

\(t=\frac{t'+(v/c^2)x'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.\)