Релятивистская динамика

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА – это раздел частной теории относительности, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил.

В теории относительности свободные, т. е. не подверженные действию сил, материальные точки имеют в качестве своих мировых линий времени подобные или изотропные, геодезические. Этот факт является выражением закона инерции в теории относительности.

Если на частицу действуют силы, то ее мировая линия не совпадает с геодезической. Для описания движения частицы вводятся понятия четырехмерного вектора энергии-импульса \(p^i\)и вектора четырехмерной силы \(g^i\). Именно,

\(p^i = (\frac Ec; p),\) (1) где Е – энергия частицы, \(m\) – масса покоя, \(p\) – трехмерный импульс частицы. Вектор \(g^i{'}\) определяется соотношением:

\(\Bigg(\frac {FV}{c^2\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}};\frac F{c\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\Bigg)\), где \(F\) – трехмерная сила, \(V\) – скорость. С использованием этих векторов основные уравнения Р. д. могут быть записаны в виде, аналогичном виду уравнений второго закона Ньютона:

\(g ^i = \frac{dp^i}{ds}=mc\frac{du^i}{ds}.\)

Конкретный вид силы gⁱ устанавливается в тех разделах теории относительности, которые изучают конкретные свойства различных взаимодействий. Например, сила, действующая на частицу в электромагнитном поле, – сила Лоренца – имеет вид:

\(g^i = \frac ec F^{ik}u_k,\) где е – заряд частицы, \(F^{ik}\) – тензор электромагнитного поля, \(u_k\) – четырехмерная скорость.

Второй закон Ньютона в обычном виде не согласуется с теорией относительности. В самом деле, допустим, что тело движется под действием постоянной силы. Тогда его скорость меняется по закону равноускоренного движения, т. е. растет линейно с течением времени. Поэтому спустя достаточное время может оказаться больше скорости света. Необходимо внести во второй закон Ньютона такие изменения, чтобы увеличение скорости тела под действием любой силы затруднялось по мере ее приближения к скорости света. Этого можно достигнуть, если изменить связь импульса материальной точки со скоростью. В механике Ньютона мы исходили из закона пропорциональности импульса и скорости, т. е. полагали, что масса тела не зависит от скорости его движения. В теории относительности закон, связывающий p и v, более сложный. Опираясь на требование принципа относительности (инвариантность законов относительно преобразований Лоренца), можно доказать, что масса должна возрастать со скоростью по закону:

\(m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\)(1).

То есть масса стремится к бесконечности по мере того, как скорость тела приближается к скорости света. Тем самым, автоматически выполняется требование теории, согласно которому, скорость света есть предельная величина, и скорость любого тела не может ее пpевысить. Связь импульса частицы с ее скоpостью тепеpь задается фоpмулой \(p=\frac{m_0}{1-\frac{u^2}{c^2}}u\) (2), где m₀ – масса покоя тела. Опpеделение силы в ТО сохpаняется таким же, как и в механике Ньютона: сила есть пpоизводная от импульса по вpемени, т. е. \(F = \frac{dp}{dt}. \) Втоpой закон Ньютона в ТО пpиобpетает вид \(\frac d{dt}\left(\frac {m_0u}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\right)=F\) (3).

В теоpии относительности так поступать уже нельзя, т. к. масса зависит от скоpости и ее нельзя вынести за знак пpоизводной в данной фоpмуле.