Свободные колебания

Колебания – в той или иной степени повторяющийся во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму. Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны с волнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщенная теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования энергии.

Свободные колебания – колебания в системе под действием внутренних тел, после того как система выведена из положения равновесия. Колебания груза, подвешенного на нити, или груза, прикрепленного к пружине, – это примеры свободных колебаний. После выведения этих систем из положения равновесия создаются условия, при которых тела колеблются без воздействия внешних сил. Система – группа тел, движение которых мы изучаем. Внутренние силы – силы, действующие между телами системы. Внешние силы – силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.

Условия возникновения свободных колебаний.

1. При выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия и, следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Пример: при перемещении прикрепленного к пружине шарика влево и при его перемещении вправо сила упругости направлена к положению равновесия.
2. Трение в системе должно быть достаточно мало. Иначе колебания быстро затухнут или вовсе не возникнут. Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.

Для того чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

В этом соотношении \(\omega\) – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине с жесткостью k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Круговая частота ω₀ свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

\(ma=-kx=m\omega_0^2x,\)

откуда

\(\omega_0=\sqrt{\frac km}.\)

Частота ω₀ называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

\(T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac mk}\).

При горизонтальном расположении системы пружина – груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину \(x_0\), равную

\(x_0=\frac{mg}k,\)

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты \(ω_0\) и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:

\(a(t)=\ddot x(t)\).

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

\(ma=m\ddot x=-kx,\)

или

\(\ddot x+\omega_0^2x=0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\cdot)\),

где \(\omega_0^2=\frac km\).

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (·), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

\(x=x_mcos(\omega t+\varphi_0)\).

Уравнение (·) называется уравнением свободных колебаний. Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний \(ω_0\) или период T. Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда \(x_m\) и начальная фаза φ₀, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние \(ΔI \) и затем в момент времени \(t = 0\) отпущен без начальной скорости, то \(xm = ΔI, φ0 = 0\).

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость \(\pm v_0,\) то \(x_m=\sqrt{\frac mk}v_0,\varphi_0=\pm\frac \pi2.\)

Таким образом, амплитуда \(x_m\) свободных колебаний и его начальная фаза \(φ_0\) определяются начальными условиями.