Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил. Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: \(F(t)=F_0cos(\Omega t)\).

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой \(\omega\), воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте \(\omega_0\).

Если свободные колебания происходят на частоте ω₀, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте \(\omega\) внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время \(\Delta t\) для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания t свободных колебаний в колебательной системе.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение.

Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону \(y=y_m\cos\omega t.\) l – длина недеформированной пружины, \(k\) – жесткость пружины.

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый – на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была не деформирована, то удлинение пружины \(ΔI\) равно:

Второй закон Ньютона для тела массой \(m\) принимает вид:

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (\(x = 0\)). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: \(a=\ddot{x}\). Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

\(\ddot{x}+\omega_0^2x=A \ cos \ \omega t, \ \ \ \ \ \ \ \ \)(· ·)

где \(\omega_0=\sqrt{\frac{k}m}\) – собственная круговая частота свободных колебаний, \(ω\) – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис.3) величина A определяется выражением:

\(A=\frac kty_m=\omega_0^2y_m\).

Уравнение (· ·) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (·), уравнение вынужденных колебаний (· ·) содержит две частоты: частоту \(ω_0\) свободных колебаний и частоту \(ω\) вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону:

\(x(t)=x_mcos(\omega t+\ \theta).\)