Задание 3

Решить неравенство: \(\log_5\frac{3-x}{x+2}>1.\)

Решение.

\(\log_5\frac{3-x}{x+2}>\log_55.\)

Неравенство \(\log_af(x)>\log_ag(x)\) при \(a>1\) равносильно системе неравенств \(\left\{\begin{matrix} f(x)>g(x),\\ f(x)>0, \\ g(x)>0. \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} \frac{3-x}{x+2}>5, \\ \frac{3-x}{x+2}>0. \end{matrix}\right.\)

Для решения системы достаточно решить неравенство \(\frac{3-x}{x+2}>5.\)

\(\frac{3-x}{x+2}-5>0;\)

\(\frac{3-x-5x-10}{x+2}>0;\)

\(\frac{6x+7}{x+2}<0. \)

Рассмотрим функцию \(p(x)=\frac{6x+7}{x+2}.\)

Нуль функции \(x=-\frac{7}{6}.\)

Точка разрыва \(x=-2.\)

Функция принимает отрицательные значения при \(x∈\Big(-2; -1\frac{1}{6}\Big).\)

Ответ: \(\Big(-2; -1\frac{1}{6}\Big).\)

Материалы для повторения:

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Логарифмические неравенства и их системы

Сканируй QR код, скачивай приложение и учись вместе с нами

Сканируй QR код, скачивай приложение
и учись вместе с нами