+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 6
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Является ли прямая \(y = x + 2\) касательной к графику функции \(y = 2x – \ln{x}?\) Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Чтобы прямая \(y = kx + b\) была касательной к графику функции \(y = f(x),\) должны выполняться следующие условия: \(k = y'(x_0)\) и \(b = y(x_0) – y'(x_0) \cdot x_0,\) где \(x_0\) – абсцисса точки касания.

Таким образом, прямая \(y = 2 + x\) является касательной к графику функции \(y = 2x – \ln{x},\) если имеет решение система:

\(\begin {cases} 2 - {1 \over x_0} = 1, \\ 2x_0 - \ln{x_0} - \Big( 2 - {1 \over x_0} \Big) x_0 = 2. \end {cases}\)

Определим, имеет ли система решение.

\(\begin {cases} 2 - {1 \over x_0} = 1, \\ 2x_0 - \ln{x_0} - \Big( 2 - {1 \over x_0} \Big) x_0 = 2; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} -{1 \over x_0} = -1, \\ 2x_0 - \ln{x_0} - 2x_0 + 1 = 2; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x_0 = 1, \\ - \ln{x_0} = 1; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x_0 = 1, \\ x_0 = {1 \over e}; \end {cases} \Leftrightarrow x_0 \in \varnothing.\)

Ответ: прямая \(y = x + 2\) не является касательной к графику функции \(y = 2x – \ln{x}.\)

Решение 2.

Составим уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 2x – \ln{x}\) с угловым коэффициентом \(k = 1\) (по условию параллельности прямых).

Так как \(k = f'(x_0),\) определим значение \(x_0.\)

\(2 - {1 \over x_0} = 1;\)

\(- {1 \over x_0} = -1;\)

\(x_0 = 1.\)

Следовательно, необходимо составить уравнение касательной, проходящей через точку с абсциссой \(x_0 = 1.\)

\(y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0);\)

\(y = 1(x – 1) + 2 – \ln1;\)

\(y = x + 1.\)

Полученное уравнение не совпадает с уравнением \(y = x + 2.\)

Ответ: прямая \(y = x + 2\) не является касательной к графику функции \(y = 2x – \ln{x}.\)

Материалы для повторения:

10 класс – Производная – Угловой коэффициент касательной и ее уравнение



Сообщить об ошибке