+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 6
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

В равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной \(2,\) и углом при основании \(30^\circ\) вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на боковых сторонах, а две – на основании треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

Решение.

На чертеже в треугольник \(ABC \) \((AC = CB = 2, \angle A = 30^\circ)\) вписан прямоугольник \(EFGD\) наибольшей площади.

Пусть \(CF = x,\) по условию задачи, \(x \in [0; 2].\)

\(1. \ FB = 2 – x, \) \(FG = 1 – 0,5x \) \((\angle B = 30^\circ).\)

\(2. \bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup EFC,\) следовательно, \({EF \over AB} = {CF \over CB} \) и \(EF = x\sqrt3.\)

Составим функцию зависимости площади прямоугольника от значения \(x:\) \(f(x) = x\sqrt3 (1 – 0,5x).\)

Таким образом, задача сводится к нахождению такого значения \(x,\) при котором функция \(f(x)\) принимает наибольшее значение на отрезке \([0; 2].\)

Найдем стационарные точки функции на заданном отрезке.

\(f'(x) = \sqrt3 - x\sqrt3;\)

\(f'(x) = 0;\)

\(\sqrt3 - x\sqrt3 = 0;\)

\(x_1 = 1;\)

\(x_1 \in [0; 2].\)

\(x_1 = 1\) является точкой максимума функции \(f(x),\) так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([0; 2]\) функция \(f(x) = x\sqrt3 (1 – 0,5x)\) принимает в точке \(x = 1.\)

\(FG = 1 – 0,5x = 0,5.\)

\(EF = x\sqrt3 = \sqrt3.\)

Ответ: \(0,5\) и \(\sqrt3.\)

Материалы для повторения:

10 класс – Функции и их свойства – Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке



Сообщить об ошибке