Скачай приложение iTest
Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате
Задание 6
В равносторонний треугольник со стороной, равной \(2,\) вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на боковых сторонах, а две – на основании треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.
Выполним чертеж по условию задачи.
На чертеже \(\bigtriangleup ABC\) – правильный, \(CD\) – его высота, \(HKNM\) – вписанный в него прямоугольник, тогда \(\bigtriangleup MNC \sim \bigtriangleup ABC\) (по двум углам). Значит, \({MN \over AB} = {CD - MH \over CD}.\)
По условию \(AB = 2,\) то \(CD = 3.\)
Пусть \(MH = NK = x,\) тогда \(MN = HK = 2 - {2 \over \sqrt3}x.\) Составим функцию зависимости площади прямоугольника от значения \(x:\) \(f(x) = x\Big(2 - {2 \over \sqrt3}x\Big).\)
Таким образом, задача сводится к нахождению такого значения \(x,\) при котором функция \(f(x)\) принимает наибольшее значение на отрезке \([0; 2].\)
Найдем стационарные точки функции на заданном отрезке.
\(f'(x) = 2 - {4 \over \sqrt3}x;\)
\(f'(x) = 0;\)
\(2 - {4 \over \sqrt3}x = 0;\)
\(x_1 = {\sqrt3 \over 2};\)
\(x_1 \in [0; 2];\)
\(x_1 = {\sqrt3 \over 2}\) является точкой максимума функции \(f(x),\) так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, наибольшее значение на отрезке \([0; 2]\) функция \(f(x) = x(2 - {2 \over \sqrt3}x)\) принимает в точке \(x = {\sqrt3 \over 2}.\)
Ответ: \(MH = NK = {\sqrt3 \over 2},\) \(MN = HK = 1.\)
Материалы для повторения:
10 класс – Функции и их свойства – Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке
Во время прохождения онлайн тура мы запрещаем открывать дополнительные вкладки браузера, при повторном открытии мы аннулируем ваши результаты!
Обратитесь к организатору конкурса.
Сканируй QR код, скачивай приложение
и учись вместе с нами
1. Скачайте приложение iTest, используя QR-код или строку поиска в AppStore или Play Market
2. Авторизуйтесь в приложении и готовьтесь к экзаменам вместе с нами
