Задание 2

Упростите выражение: \({1 \over \sqrt[4]{a} + \sqrt[8]{a} + 1} + {1 \over \sqrt[4]{a} - \sqrt[8]{a} + 1} - {2\sqrt[4]{a} - 2 \over \sqrt{a} - \sqrt[4]{a} + 1}.\)

Решение.

\({1 \over \sqrt[4]{a} + \sqrt[8]{a} + 1} + {1 \over \sqrt[4]{a} - \sqrt[8]{a} + 1} - {2\sqrt[4]{a} - 2 \over \sqrt{a} - \sqrt[4]{a} + 1} = \\ = {1 \over (\sqrt[4]{a} + 1) + \sqrt[8]{a}} + {1 \over (\sqrt[4]{a} + 1) - \sqrt[8]{a}} - {2\sqrt[4]{a} - 2 \over \sqrt{a} - \sqrt[4]{a} + 1} = \\ = {\sqrt[4]{a} - \sqrt[8]{a} + 1 + \sqrt[4]{a} + \sqrt[8]{a} + 1 \over (\sqrt[4]{a} + 1)^2 - (\sqrt[8]{a})^2} - {2\sqrt[4]{a} - 2 \over \sqrt{a} - \sqrt[4]{a} + 1} = {2\sqrt[4]{a} + 2 \over \sqrt{a} + \sqrt[4]{a} + 1} - {2\sqrt[4]{a} - 2 \over \sqrt{a} - \sqrt[4]{a} + 1} = \\ = {2\sqrt[4]{a} + 2 \over (\sqrt{a} + 1) + \sqrt[4]{a}} - {2\sqrt[4]{a} - 2 \over (\sqrt{a} + 1) - \sqrt[4]{a}} = {(2\sqrt[4]{a} + 2)(\sqrt{a} - \sqrt[4]{a} + 1) - (2\sqrt[4]{a} - 2)(\sqrt{a} + \sqrt[4]{a} + 1) \over (\sqrt{a} + 1)^2 - (\sqrt[4]{a})^2} = \\ = {2((\sqrt[4]{a})^3 + 1) - 2((\sqrt[4]{a})^3 - 1) \over a + 2\sqrt{a} + 1 - \sqrt{a}} = {4 \over a + \sqrt{a} + 1}.\)

Ответ: \({4 \over a + \sqrt{a} + 1}.\)

Материалы для повторения:

11 класс – Степени и корни – Степень с рациональным показателем и ее свойства

11 класс – Степени и корни – Корень n-ой степени и его свойства

Сканируй QR код, скачивай приложение и учись вместе с нами

Сканируй QR код, скачивай приложение
и учись вместе с нами