Задание 1

Решить уравнение: \(\cos2x + \sin\Big(x + \frac{3π}{2}\Big) = 0.\)

Решение.

Используем формулу косинуса двойного угла: \(\cos2x = 2\cos^2x- 1\) и формулу приведения: \(\sin\Big(x + \frac{3π}{2}\Big) = -\cos x,\) получим:

\(2\cos^2x- 1 - \cos x = 0;\)

\(2\cos^2x - \cos x – 1 = 0.\)

Квадратное уравнение относительно функции: \(y = \cos x.\)

Введем замену переменной: \(\cos x = y,\) \( -1 ≤y ≤ 1.\)

\(2y^2- y - 1 = 0.\)

По свойству коээфициентов \(2 - 1 - 1 = 0,\) значит \(y_1 = 1,\) \(y_2 = -\frac{1}{2}.\)

Оба корня удовлетворяют условиям замены, поэтому вернемся к переменной \(x\!:\)

\(\left\{\begin{matrix} \cos x = 1, \\ \cos x = -\frac{1}{2}; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2\,πn, \, n∈Z, \\ x = ±\frac{2π}{3} + 2\,πk, \, k∈Z. \end{matrix}\right.\)

Ответ: \(2\,πn, \, n∈Z,\) \(±\frac{2π}{3} + 2\,πk, \, k∈Z.\)

Материалы для повторения:

10 класс - Тригонометрические функции - Тригонометрические уравнения и методы их решения

Сканируй QR код, скачивай приложение и учись вместе с нами

Сканируй QR код, скачивай приложение
и учись вместе с нами