+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 5
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Решите систему уравнений: \(\begin {cases} \log_3x + \log_3y = \log_34 + 2, \\ 2^{\log_2(x+y)} = 5 \log_216. \end {cases}\)

Решение 1.

\(\begin {cases} \log_3x + \log_3y = \log_34 + 2, \\ 2^{\log_2(x+y)} = 5 \log_216; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ \log_3(xy) = \log_34 + \log_39, \\ x+y = 5 \cdot 4; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ xy = 4 \cdot 9, \\ x+y = 5 \cdot 4; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x > 0, \\ y > 0, \\ xy = 36, \\ x+y = 20; \end {cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \begin {cases} x = 2, \\ y = 18. \end {cases} \\ \begin {cases} x = 18, \\ y = 2. \end {cases} \end{array} \right.\)

Ответ: \((2; 18), (18; 2).\)

Решение 2.

1. Учитывая \(x > 0\) и \(y > 0,\) приведем первое уравнение системы к равносильному.

\(\log_3x + \log_3y = \log_34 + 2;\)

\(\log_3(xy) = \log_34 + \log_39;\)

\(\log_3(xy) = \log_3(4 \cdot 9);\)

\(\log_3(xy) = \log_336;\)

\(xy = 36.\)

2. Используя определение логарифма, преобразуем второе уравнение системы:

\(2^{\log_2(x+y)} = 5 \log_216;\)

\(x + y = 5 \cdot 4;\)

\(x + y = 20.\)

Выразим переменную \(x\) через переменную \(y\) во втором уравнении: \(x = 20 – y.\)

3. Подставив выражение \(20 – y\) вместо переменной \(x\) в уравнение \(xy = 36,\) получим и решим квадратное уравнение.

\((20 – y)y = 36;\)

\(– y^2 + 20y – 36 = 0;\)

\(y^2 – 20y + 36 = 0;\)

\(y_1 = 2\) и \(y_2 = 18.\)

4. Найдем соответствующие значения второй переменной:

\(x_1 = 18\) и \(x_2 = 2.\)

Ответ: \((18; 2), (2; 18).\)

Материалы для повторения:

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Показательные уравнения и их системы

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Логарифмические уравнения и их системы



Сообщить об ошибке