+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 4
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Решите систему неравенств: \(\begin {cases} 2^{x + 2} - 0,5 ⋅ 2^{x + 1} < 3, \\ 0,09^{x^2} ≤ 0,3^x. \end {cases}\)

Решение 1.

1) Решим первое неравенство системы, вынося за скобки степень с меньшим показателем.

\(2^{x + 2} - 0,5 \cdot 2^{x + 1} < 3;\)

\(2^{x + 1} (2^1 - 0,5) < 3;\)

\(2^{x + 1} (2 - 0,5) < 3;\)

\(2^{x + 1} \cdot 1,5 < 3;\)

\(2^{x + 1} < 2.\)

Функция \(y = 2^x\) монотонная возрастающая, значит:

\(x + 1 < 1;\)

\(x < 0.\)

2) Решим второе неравенство системы, используя монотонность функции \(y = 0,3^x.\)

\(0,09^{x^2} ≤ 0,3^x;\)

\(0,3^{2x^2} ≤ 0,3^x;\)

\(2x^2 ≥ x;\)

\(\left[ \begin{array}{ccc} x ≤ 0, \\ x ≥ 0,5. \end{array} \right.\)

3) Найдем пересечение решений неравенств.

\(x < 0.\)

Ответ: \(x < 0,\) или \(x \in (–\infty; 0).\)

Решение 2.

\(\begin {cases} 2^{x + 2} - 0,5 ⋅ 2^{x + 1} < 3, \\ 0,09^{x^2} ≤ 0,3^x; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} 2^{x + 1} (2 - 0,5) < 3, \\ 0,3^{2x^2} ≤ 0,3^x; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} 1,5 \cdot 2^{x + 1} < 3, \\ 0,3^{2x^2} ≤ 0,3^x; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} 2^{x + 1} < 2, \\ 0,3^{2x^2} ≤ 0,3^x; \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x + 1 < 1, \\ 2x^2 \geq x; \end {cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x < 0, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x \leq 0, \\ x \geq 0,5; \end{array} \right. \end {cases} \Leftrightarrow x < 0.\)

Ответ: \(x < 0,\) или \(x \in (–\infty; 0).\)

Материалы для повторения:

11 класс – Показательные и логарифмические уравнения – Показательные неравенства и их системы



Сообщить об ошибке