Задание 6

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой \(f(x) = – x^2 + 2x + 3,\) касательной к этой параболе в точке \(x = 0\) и прямой \(x = 4.\)

Решение.

Составим уравнение касательной к графику функции \(f(x) = –x^2 + 2x + 3\) в точке \((0; 3).\)

\(y' = –2x + 2;\) \(y' (0) = 2.\)

Таким образом, уравнение касательной: \(y = 3 + 2x.\)

Построим в одной системе координат эскизы графиков заданных функций и укажем фигуру, площадь которой необходимо найти.

Площадь закрашенной фигуры определяется формулой: \(S = \int\limits_a^b (f(x) - g(x)) dx ,\) где \(g(x) = 3 + 2x,\) \(f(x) = – x^2 + 2x + 3,\) \(a\) – абсцисса точки пересечения графиков функций и \(b = 4.\)

\(S = \int\limits_0^4 (3+2x+x^2-2x-3)dx = {x^3 \over 3} \bigg |_0^4 = {64 \over 3}=21{1 \over3}\) кв. ед.

Ответ: \(21{1 \over 3}\) кв. ед.

Материалы для повторения:

11 класс – Первообразная и интеграл – Площадь криволинейной трапеции

Сканируй QR код, скачивай приложение и учись вместе с нами

Сканируй QR код, скачивай приложение
и учись вместе с нами