+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Задание 6
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Найдите такое число, сумма которого со своим квадратом дает наименьшее значение.

Решение 1.

Пусть задуманное число \(x,\) тогда его квадрат \(x^2.\) По условию задачи заданное число является действительным. Составим функцию зависимости суммы числа и его квадрата от значения \(x\!:\) \(f(x) = x^2 + x.\)

Таким образом, задача сводится к нахождению такого значения \(x,\) при котором функция \(f(x)\) принимает наименьшее значение множестве действительных чисел.

Найдем стационарные точки функции.

\(f '(x) = 2x + 1;\)

\(f '(x) = 0\) при \(x = -0,5.\)

\(x = -0,5\) является точкой минимума функции \(f(x),\) так как при переходе через \(x = -0,5\) производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, наименьшее значение функция \(f(x) = x^2 + x\) принимает в точке \(x = -0,5.\)

Ответ: \(-0,5.\)

Решение 2.

Данная задача является задачей на оптимизацию.

1. Выделим оптимизируемую величину: \(y\) – сумма числа и его квадрата. Будем искать ее наименьшее значение.

2. За \(x\) примем заданное число, тогда \(x^2\) – его квадрат.

3. Установим область определения по условию задачи: \(x \in R.\)

4. Выразим оптимизируемую величину \(y\) через \(x\!:\)

\(y = x^2 + x.\)

5. Найдем экстремум данной функции на \(R.\)

\(y' = 2x + 1;\)

\(y' = 0;\)

\(2x + 1 = 0;\)

\(x = -0,5.\)

\(x \in R\) и \(x = -0,5\) являются точкой минимума функции \(y,\) так как при переходе через \(x = -0,5\) производная меняет знак с «–» на «+».

Таким образом, составим ответ на вопрос задачи с учетом условий.

Ответ: \(-0,5.\)

Материалы для повторения:

10 класс – Функции и их свойства – Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке



Сообщить об ошибке