Линейное уравнение с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными – любое уравнение, которое имеет следующий вид: ax + by = c. Здесь x и y есть две переменные, a, b, c – некоторые числа.

Решением линейного уравнения ax + by = c называется любая пара чисел (x; y), которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точек будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у – ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным:

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении взять х = 0 и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0 и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике.

4. При необходимости взять произвольное значение х и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: x + y – 3 = 0, где a = 1; b = 1; c = –3.

Чтобы найти ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния, нужно по­до­брать со­от­вет­ству­ю­щие пары чисел х и у:

Пусть x = 0, тогда ис­ход­ное урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в урав­не­ние с одной неиз­вест­ной: 0 + y – 3 = 0 ⇒ y = 3.

То есть пер­вая пара чисел, яв­ля­ю­ща­я­ся ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния (0; 3). По­лу­чи­ли точку А(0; 3).

Пусть y = 0, по­лу­чим ис­ход­ное урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной: x + 0 – 3 = 0 ⇒ x = 3, по­лу­чи­ли точку В(3; 0).

По­стро­им на гра­фи­ке точки и про­ве­дем пря­мую:

От­ме­тим, что любая точка на дан­ной пря­мой будет ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния. Про­ве­рим – возь­мем точку с ко­ор­ди­на­той x = 2 и по гра­фи­ку най­дем ее вто­рую ко­ор­ди­на­ту. Оче­вид­но, что в этой точке y = 1. Под­ста­вим дан­ную пару чисел в урав­не­ние. По­лу­чим 0 = 0 – вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство, зна­чит точка, ле­жа­щая на пря­мой, яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными:

1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.

2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение, равносильное исходному.