Системы линейных уравнений с двумя переменными

Система уравнений – это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.

Например: \(\begin{cases} 2x+3y=1\\ x-5y=0 \\ \end{cases}\)

Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными. Решить систему уравнений – значит найти множество ее решений.

Графическое решение

Графическим решением линейного уравнения являются все точки некоторой прямой на плоскости. Для системы линейных уравнений будем иметь несколько прямых (по количеству уравнений). А решением системы уравнений, будет являться точка, в которой пересекаются все прямые. Если такой точки нет, то система не будет иметь решений. Точка, в которой пересекаются все прямые, принадлежит каждой из этих прямой, поэтому решение называют общим.

Способ подстановки

Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:

1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y.

2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.

3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.

4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.

5. Выполнить проверку полученного решения.

Например: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 1 \\ x + 2y = 4 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2(4 - 2y) - 3y = 1 \\ x = 4 - 2y \\ \end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 8 - 4y - 3y = 1 \\ x = 4 - 2y \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 1 \\ x = 2 \\ \end{array} \right.\)

Ответ: (2; 1).

Способ сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным.

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Например:

\(\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=10 \\ 5x+3y=12 \\ \end{array} \right.\)

Так как одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной \(y\). Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

\(\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=10/ \cdot3 \\ 5x+3y=12 / \cdot2\\ \end{array} \right.\)

Получим следующую систему уравнений: из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

\(\left\{ \begin{array}{l} 39x+6y=30 \\ 10x+6y=24\\ \end{array} \right. \Rightarrow x+0=-6 \Rightarrow x=-6\)

Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

\(\left\{ \begin{array}{l} 3\cdot(-6)+2y=10 \\ 2y=28 \ \Rightarrow y=14 \end{array} \right.\)

Ответ: (6; 14).