Решение задач на составление систем уравнений

Множество задач можно решить путем составления систем двух линейных уравнений. Такое решение состоит из трех этапов:

1. построение математической модели (обозначить через x и y неизвестные величины);

2. составление системы двух уравнений;

3. решение системы и нахождение ответа к задаче.

Пример 1. Расстояние между городами – 564 км. Навстречу друг другу из городов одновременно вышли поезда и встретились через 6 часов. Скорость одного поезда на 10 км больше скорости другого. Чему равна скорость каждого поезда?

Решение: Пусть х км/ч – скорость первого поезда, а у км/ч – скорость второго поезда. По условию задачи, поезда встретились через 6 часов. Тогда, 6х км пройдет до встречи первый поезд, 6у км пройдет до встречи второй поезд. Их встреча означает, что суммарно они прошли до встречи путь в 564 км, то есть 6х + 6у = 564 – первое уравнение.

Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго, то есть, разность между скоростями равняется 10. Получим второе уравнение: х – у = 10.

В итоге получим систему уравнений:

\(\left\{ \begin{array}{l} 6x+6y=564 \\ x-y=10 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y=94 \\ x-y=10\\ \end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=52 \\ y=52-10 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=52 \\ y=42 \\ \end{array} \right.\)

Ответ: 52 км/ч, 42 км/ч.

Пример 2. На двух полках лежат 84 книги. Если с одной полки снять 12 книг, то на обоих полках книг станет поровну. Сколько книг станет на каждой полке? А сколько было сначала?

Решение: Пусть х книг – на первой полке, а у книг – на второй полке. По условию задачи, количество книг на двух полках суммарно составляет 84 книги, то есть х + у = 84 – первое уравнение.

Если с первой полки снять 12 книг, то количество книг на обоих полках будет поровну. Получим второе уравнение: х – 12 = у.

В итоге получим систему уравнений:

\(\begin{cases} x+y=84 \\ x-12=y \\ \end{cases} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y=84 \\ x-y=12\\ \end{array} \right. \Rightarrow2x=96; \ x=48\)

48 (книг) – было на первой полке.

84 – 48 = 36 (к.) – было на второй полке.

48 – 12 = 36 (к.) – станет на каждой полке.

Ответ: по 36 книг, 48 книг и 36 книг.