Системы нелинейных неравенств с одной переменной

Областью определения неравенства с одной переменной называется множество значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при которой верно каждое из неравенств системы. Множеством решений системы является пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему.

Сначала решаем каждое неравенство системы по отдельности, и на своей оси. Последнее очень важно: часто при решении системы нелинейных неравенств делают такую ошибку: приравнивают к нулю левые части неравенств, находят корни и все корни наносят на одну ось. ЭТО НЕВЕРНО!

Решения всех неравенств совмещаем на одной числовой оси и находим область, над которой расположено столько «стрелок», сколько неравенств в системе.

Пример. Решите систему неравенств: \(\left\{ \begin{array}{l} x^2-x-20<0, \\ x^2-2x-8<0,\\ 2x^2+x-45<0. \end{array} \right. \)

Решим каждое неравенство системы, используя метод интервалов:

\(1)\ x^2-x-20<0\).

Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: \(x_1=5, x_2=-4\).

Нанесем их на числовую ось:

Расставим знаки. Для этого возьмем число больше большего корня и подставим вместо х в левую часть неравенства.

Возьмем, например, число 10: \(10^2-10-20>0\), следовательно, в самом правом промежутке ставим «+». Так как все корни нечетной кратности, знаки меняются при переходе через корни:

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше 0:

Аналогично для второго неравенства:

\(2)\ x^2-2x-8<0\)

Выделим область, в которой левая часть неравенства меньше 0:

Аналогично для третьего неравенства:

\(3) \ 2x^2+x-45<0\)

Теперь совместим на одной числовой оси решение трех неравенств:

Мы видим, что три «стрелки», изображающие решения всех трех неравенств, проходят над отрезком (–2; 4) – это и есть решение нашей системы неравенств.

Ответ: (–2; 4).