Нелинейные уравнения с двумя переменными и их система

Уравнения с двумя переменными \(x \ и \ y\) имеет вид \(f(x,y)= \varphi(x,y)\), где \( f\  и \ \varphi\) – выражения с переменными \(x \  и \ y\).

Если в уравнении \(x(x-y)=4\) подставить вместо переменной х ее значение –1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: \(1\cdot(-1-3)=4\). Пара (–1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения \(x(x-y)=4\).

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Нелинейные уравнения с двумя переменными решаются так же, как и линейные уравнения с двумя переменными, – с помощью графика. При этом желательно переменную у выразить через х и построить график полученной функции. Все соответствующие координаты точек графика будут являться парами ответов данного уравнения.

Система вида \(\left\{ \begin{array}{l} f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end{array} \right.\), называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотя бы одно из уравнений нелинейное. Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Утверждения о равносильности систем уравнений:

• если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например x, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную x на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных систем уравнений.

Метод разложения на множители

Пример 1. Решить систему: \(\left\{ \begin{array}{l} x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0, \\ 2x^2-y^2+xy+3y-5=0. \\ \end{array} \right.\)

Решение: Так как \(x^2 - 2y^2 - xy = (x+y)(x-2y)\), то \(\left\{ \begin{array}{l} (x+y)(x-2y)+(x+y)+(x-2y)+1=0 \\ (2x-y)(x+y)+(2x-y)+(x+y)+1=6 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \\\left\{ \begin{array}{l} (x+y+1)(x-2y+1)=0 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end{array} \right. \)

Заметим, что множитель \(x+y+1\ne0\), так как в этом случае правая часть второго уравнения системы также обратилась бы в нуль. Следовательно, система равносильна системе \(\left\{ \begin{array}{l} x-2y+1=0 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2y-1 \\ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \\ \end{array} \right. \)

Решим второе уравнение:

\((2(2y-1)-y +1)(2y-1+y+1) =6 \\( 4y - 2 -y + 1)\cdot 3y = 6 \\(3y-1)\cdot 3y = 6 \\9y ^2-3y -2 = 0 \\y_1= 1; y_2 = -\frac23\)

Выразив x из первого уравнения и подставив во второе, получили уравнения для нахождения у. В первое уравнение системы вместо у подставляем найденное значение и находим значения x: \(x_1=1; \ x_2=-\frac73\).

Ответ: \((1; 1); (- \frac73; - \frac23 )\).

Метод исключения одной из неизвестных

Метод исключения неизвестных позволяет последовательно сводить решение данной системы к решению системы (или совокупности систем), содержащей на одну переменную меньше.

Пример 2. Решить систему: \(\left\{ \begin{array}{l} 3x^2y^2+x^2-3xy=7, \\ 10x^2y^2+3x^2-20xy=3. \\ \end{array} \right. \)

Решение: Левые части уравнений системы содержат одни и те же комбинации неизвестных. Умножим уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим х². Для этого умножим первое уравнение на –3 и сложим со вторым уравнением.

В результате получаем уравнение \((xy)^2-11xy+18=0\).

Решим данное уравнение путем замены.

Пусть \(xy = t\), тогда \( t^2 - 11t + 18= 0\), откуда \(t_1 = 2; t_2 = 9\).

Таким образом, исходная система распадается на системы:

\(\left\{ \begin{array}{l} 3x^2y^2+x^2-3xy=7 \\ xy=2 \\ \end{array} \right. \ и \ \left\{ \begin{array}{l} 3x^2y^2+x^2-3xy=7 \\ xy=9 \\ \end{array} \right. \)

В первом случае находим \(x^2=1\). Если \(x = 1, то\ y = 2 , \ а \ если\ x = -1, \ то\ y = -2\).

Во втором случае получаем \(x^2=-209\), т. е. не имеет действительных решений.

Ответ: \((1;2),(-1;-2)\).

Метод подстановки

Пример 3. Решить систему: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3, \\ x^3 + x^2 y = 12. \\ \end{array} \right.\)

Решение: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3 \\ x^3 + x^2 y = 12 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3 \\ x^2 \left( {x + y} \right) = 12 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3 \\ x^2 \cdot 3 = 12 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3 \\ x^2 =4 \\ \end{array} \right. \)

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3 \\ x_1=2; x_2=-2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow y=3-x \Rightarrow y_1=3-2=1, y_2=3-(-2)=5\)

Ответ: \((2;1), (-2;5)\).

Метод введения новых переменных

Пример 4. Решить систему: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y +\frac{x}{y}=\frac12, \\ \frac{(x+y)x}{y}=-\frac12. \\ \end{array} \right.\)

Решение: Введем новые неизвестные \(u =x+y, v = \frac{x}{y}\) и получим симметричную систему уравнений: \(\left\{ \begin{array}{l} u+v=\frac12 \\ uv=-\frac12 \\ \end{array} \right.\). Решения этой системы: \(u_1=1, v_1=-\frac12; u_2=-\frac12, v_2=1\). Получаем системы уравнений: \(\left\{ \begin{array}{l} x+y=1 \\ \frac{x}{y}=-\frac12 \\ \end{array} \right. \ и \ \left\{ \begin{array}{l} x+y=-\frac12 \\ \frac{x}{y}=1 \\ \end{array} \right. \), которые являются линейными. Решение первой системы – \((-1;2)\), второй – \((- \frac 1{4} ; - \frac 1{4})\).