Числовая последовательность, способы ее задания и свойства

Числовая последовательность – функция вида \(y = f(x), x \in N\), где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается как \(y = f(n)\), или \(y_1, y_2,…, y_n,…\) Значения \(y_1, y_2, y_3\)… называют соответственно первым, вторым, третьим,… членами последовательности.

Например, для функции \(y = n^2\) можно записать: \(y_1 = 1^2 = 1; y_2 = 2_2 = 4;y_3 = 3_2 = 9;…y_n = n^2...\)

Способы задания последовательностей

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена: \(y_n = f(n)\).

Например, \(y_n = 2n - 1\) – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9,…

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, что речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1,…, 1,…

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11,… При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название «рекуррентный способ» происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1-2 начальных члена последовательности.

Пример 3. \(y_1 = 3; y_n = y_n–1 + 4, если\ n = 2, 3, 4,…\)

Здесь \(y_1 = 3; y_2 = 3 + 4 = 7; y_3 = 7 + 4 = 11;\)…

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: \(y_n = 4n – 1\).

Свойства числовых последовательностей

Последовательность \(\{y_n\}\) называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

\(y_1 < y_2 < y_3 < … < y_n < y_{n+1} < …\)

Последовательность \(\{y_n\}\) называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

\(y_1 > y_2 > y_3 > … > y_n > y_{n+1} > … \)

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 4. \(y_1 = 1; y_n = n^2\) – возрастающая последовательность.

Пример 5. \(y_1 = 1; y_n=\frac1{n}\) – убывающая последовательность.