Гомотетия. Подобные фигуры. Признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников

Подобие – это понятие, характеризующее наличие одинаковой, не зависящей от размеров, формы у геометрических фигур.

Подобные фигуры – это фигуры, для которых существует взаимно-однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми парами их соответствующих точек изменяется в одно и то же число раз.

Например, то, что фигуры F₁ и F₂ подобны, означает, что для любых двух точек M₁ и N₁ фигуры F₁ и сопоставленных им точек M₂ и N₂ фигуры F₂ выполняется соответствие \(\frac{M_1N_1}{M_2N_2}=k\), где k – одно и то же число для всех точек (k > 0). Число k называется коэффициентом подобия.Преобразование фигуры F₁ в фигуру F₂, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, называется преобразованием подобия.

Гомотетия – это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

Гомотетия – это преобразование, при котором каждой точке A ставится в соответствие точка A₁, лежащая на прямой OA, по правилу \(OA_1=k\cdot OA\), где k – постоянное, отличное от нуля число, O – фиксированная точка. Точка O называется центром гомотетии, число k – коэффициентом гомотетии.

Свойства преобразования гомотетии:

1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, углы – в углы.

2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых). Стороны гомотетичных фигур пропорциональны, а углы равны.

Подобные треугольники – это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.

Свойства подобных треугольников

1. Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны: \(\frac{P_{A_1B_1C_1}}{P_{ABC}}=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}=k\).
2. Соответствующие линейные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и т. д.) относятся как их соответствующие стороны.
3. Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров: \(\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=\frac{A_1B_1^2}{AB^2}=\frac{B_1C_1^2}{BC^2}=\frac{A_1C_1^2}{AC^2}=k^2\).

1-й признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

\(\left. \begin{aligned} \angle A=\angle A_1\\ \angle B=\angle B_1 \end{aligned} \right \} \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1\)

2-й признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3-й признак подобия треугольников

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
2. Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.