+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Первообразная. Основное свойство первообразной функции
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Функция \(F (x)\) называется первообразной для функции \(f (x)\) на данном промежутке, если для любого \(x\) из данного промежутка \(F'(x)= f (x)\).

Пример. Функция \(F(x)=-\frac1{x}\) есть первообразная для всех \(f(x)=-\frac1{x^2}\) на промежутке \((0;+\infty)\), т. к. для всех \(x\) из этого промежутка выполняется равенство: \(F'(x)=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac1{x^2}\).

Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием. Интегрирование – математическое действие, обратное дифференцированию, то есть нахождению производной. Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функции \(f(x)\) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу.

Основное свойство первообразных

Если \(F (x)\) – первообразная функции \(f (x)\), то и функция \(F (x)+ C\), где \(C\) – произвольная постоянная, также является первообразной функции \(f (x)\) (т. е. все первообразные функции \(f(x)\) записываются в виде \(F(x) + C\)).

Геометрическая интерпретация

Графики всех первообразных данной функции \(f (x)\) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси \(Oy\).

Таблица первообразных

Учитывая, что поиск первообразной есть операция, обратная дифференцированию, и отталкиваясь от таблицы производных, получаем следующую таблицу первообразных:

Функция Множество всех первообразных
\(a\) \(ax+C\)
\(x^n\) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n\ne-1\)
\(\frac1{x}\) \(lnx+C, \ при \ x>0 \\ln(-x)+C, \ при \ x<0\)
\(\sqrt{x}\) \(\frac{2x\sqrt{x}}3+C\)
\(sinx\) \(-cosx+C\)
\(cosx\) \(sinx+C\)
\(\frac{1}{cos^2x}\) \(tgx+C\)
\(\frac1{sin^2x}\) \(-ctgx+C\)
\(a^{x}\) \(\frac{a^{x}}{lna}+C\)
\(e^{x}\) \(e^{x}+C\)

Правила нахождения первообразных

Пусть \(F(x) \ и\ G(x)\) – первообразные функций \(f(x)\ и\ g(x)\). Тогда:

  1. \(F ( x ) ± G ( x )\) – первообразная для \(f ( x ) ± g ( x )\);
  2. \(a F ( x )\) – первообразная для \(a f ( x )\);
  3. \(\frac1{a}F(ax+b)\) – первообразная для \(f(ax+b)\).


Вопросы

  1. Найдите общий вид первообразных функции.

    f(x) = 3cos3x

  2. Найдите первообразную функции.

    \( f(x) = x^4+ 3x^2 + 5\)

  3. Для функции \(f(x) = 4 – x^2\) найдите первообразную, график которой проходит через точку \((-3; 10)\).

  4. Найдите первообразную для функции.

    \(y = 3x^2+ sin x\)

  5. Hайдите первообразную функции.

    \(f(x)=4x^3+2cos(3x+1)\)

  6. Найдите первообразную функции.

    \(f(x)=\frac2{cos^2(4x+1)}+\frac1{\sqrt{3-4x}}\)

  7. Найдите для функции \(f (x)=1-2x\) первообразную, график которой проходит через точку \((3; 2)\).

  8. Найдите первообразную функции \(f(x)=sinx-cosx\), если при \(\frac{\pi}2\) первообразная равна 6.

  9. Найдите первообразную для функции \(f(x)=6sin2x+cos\frac{x}2\), которая при \(x=\frac{\pi}3\) принимает значение, равное нулю.

  10. Найдите первообразную для функции \(f(x)=\frac{x^2}{3}+1\), график которой проходит через точку \((3;1)\).

  11. Найдите для функции \(f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\) первообразную, график которой проходит через точку \(M=\left( \frac{1}{2};\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)\).

  12. Найдите общий вид первообразных функции.

    \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}\)

  13. Найдите первообразную \(F\) для функции \(f\), если \(f(x)=cos2x\) и \(F(0)=1\).

  14. Среди предложенных ответов найдите выражения, соответствующие первообразной для функции \(y(x)=2^{0,5x}+(2x+1)^2.\)

  15. Среди предложенных ответов найдите выражения, соответствующие первообразной для функции \(h(x)=cos^2x.\)

  16. Среди предложенных ответов найдите выражения, соответствующие первообразной для функции \(y(x)=\frac x {x-8}\).

Сообщить об ошибке