Тригонометрические уравнения и методы их решения

Уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим уравнением.

Уравнение \(sinx=a\)

• При \(|a|>1\) уравнение \(sinx=a\) не имеет решений.
• При \(|a|≤1\) общее решение уравнения \(sinx=a\) записывается в виде \(x = {\left( { - 1} \right)^k}arcsin a + \pi k,\;k \in \mathbb{Z}\). Данная формула содержит две ветви решений: \({x_1} = arcsin a + 2\pi k\), \({x_2} = \pi - arcsin a + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).

• \(sinx=1 \Rightarrow x = \frac{\pi}2 + 2\pi k,\;k\in \mathbb{Z}\).
• \(sinx=-1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}2 + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).
• \(sinx=0 \Rightarrow x = \pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).

Уравнение \(cosx=a\)

• При \(|a|>1\) уравнение \(cosx=a\) не имеет решений.
• При \(|a|≤1\) общее решение уравнения \(cosx=a\) записывается в виде \(x = \pm arccos a + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\). Данная формула включает два множества решений: \({x_1} = arccos a + 2\pi k\), \({x_2} = -arccos a + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).

• \(cosx=1 \Rightarrow x = \ 2\pi k,\;k\in \mathbb{Z}\).
• \(cosx=-1 \Rightarrow x ={\pi} + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).
• \(cosx=0 \Rightarrow x =\frac{\pi}2+ \pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).

Уравнение \(tgx=a\)

• При произвольном значении \(a\) общее решение уравнения \(tgx=a\) имеет вид \(x = arctg a + \pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).
• \(tgx=0\Rightarrow x = \ \pi k,\;k\in \mathbb{Z}\).

Уравнение \(ctgx=a\)

• При произвольном значении \(a\) общее решение уравнения \(ctgx=a\) имеет вид \(x = arcctg a + \pi k,\;k \in \mathbb{Z}\).
• \(ctgx=0\Rightarrow x = \frac{\pi}2+\ \pi k,\;k\in \mathbb{Z}\).

Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

1. Метод замены переменной

Пример 1. Решите уравнение: \(tg^2x+5tgx+6=0\).

Решение: Используем замену переменной \(t=tgx\). Тогда уравнение принимает вид:

\(t^2+5t+6=0 \Leftrightarrow \left [ \begin{gathered} t=-3 \\ t=-2 \end{gathered} \right. \)

Переходим к обратной замене:

\( \left [ \begin{gathered} tgx=-3 \\ tgx=-2 \end{gathered} \right. \Rightarrow \left [ \begin{gathered} x_1=-arctg3+\pi k, k\in Z, \\ x_2=-arctg2 +\pi k, k\in Z.\end{gathered} \right.\)

2. Метод разложение на множители

Пример 2. Решите уравнение: \({{cos}}^2 x + sin x \cdot cos x = 1\).

Решение:  \({{cos}}^2 x + sin x \cdot cos x = 1 \Leftrightarrow {{cos}}^2 x + sin x \cdot cos x - {{cos}}^2 x - sin ^2 x = 0 \Leftrightarrow \\sin x \cdot cos x - sin ^2 x = 0 \Leftrightarrow sin x\left( {cos x - sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} sin x = 0, \\ cos x - sin x = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \left[ \begin{array}{l} sin x = 0, \\ tgx = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pi k ,\quad k \in Z, \\ x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\quad k \in Z. \\ \end{array} \right.\)

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно \(sin\  и \ cos\), если все его члены одной и той же степени относительно \(sin \  и\  cos\) одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

1. перенести все его члены в левую часть;
2. вынести все общие множители за скобки;
3. приравнять все множители и скобки нулю;
4. скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на \(cos\ ( \ или\ sin )\) в старшей степени;
5. решить полученное алгебраическое уравнение относительно \(tg\).

Пример 3. Решите уравнение: \(3sin ^2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos^ 2 x = 2\).

Решение: \(3sin ^2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos ^2 x = 2sin ^2 x + 2cos ^2 x \Rightarrow\)

\(    sin ^2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos ^2 x = 0 \ | :cos^2x \\tg^2x+4tgx+3=0 \ |y=tgx \\y^2+4y+3=0 \Rightarrow y_1=-1, y_2=-3 \Rightarrow\)

\( \left [ \begin{gathered} tgx=-1 \\ tgx=-3 \end{gathered} \right. \Rightarrow \left [ \begin{gathered} x_1=-\frac{\pi}4+\pi k, k\in Z, \\ x_2=-arctg3 +\pi k, k\in Z.\end{gathered} \right.\)

Введение вспомогательного аргумента. Метод основан на преобразовании выражения \(asinx+bcosx\), где a и b – постоянные, не обращающиеся в нуль одновременно. Введем угол \(\varphi\), положив, что \(sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Тогда:

\(asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx)= \\=\sqrt{a^2+b^2}(cos\varphi \cdot sinx+sin\varphi \cdot cosx)=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\varphi),\)

где \(\varphi\) находится из уравнения \(tg\varphi=\frac{b}{a}\).

Пример 4. Решите уравнение: \(3sinx+4cosx=5\).

Решение: Т. к. \(3^2+4^2\ge5^2\), то корни есть.

Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3^2+4^2}=5\), получим: \(\frac35sinx+\frac45cosx=1\).

Т. к. \(\mid\frac35\mid\le1, \ \mid\frac45\mid\le1\ и \ (\frac35)^2+(\frac45)^2=1\), то существует такой угол \(\varphi\), что \(cos\varphi=\frac35, \ а \ sin \varphi =\frac45\), тогда получим:  \(cos\varphi\cdot sinx+sin\varphi\cdot cosx=1 \\sin(x+\varphi)=1 \Rightarrow x+\varphi=\frac{\pi}2+2\pi k, k\in Z \Rightarrow \\x=\frac{\pi}2+2\pi k-\varphi \\x=-arcsin\frac45+\frac{\pi}2+2\pi k, k\in Z.\)