Системы тригонометрических уравнений и методы их решения

При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре (замены, подстановки, исключения и т. д.), а также известные методы и формулы тригонометрии. Обычно при решении тригонометрических систем последние сводят либо к одному уравнению с одним неизвестным, или к системе уравнений относительно самих аргументов или функций этих аргументов. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Решите систему: \(\begin{cases} x+y=\pi, \\ sinx+siny=1. \\\end{cases}\)

Решение: \(\begin{cases} x+y=\pi \\ sinx+siny=1 \\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\pi-x \\ sinx+siny=1 \\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\pi-x \\ sinx+sin(\pi-x )=1 \\\end{cases} \Rightarrow\)

\(\begin{cases} y=\pi-x \\ 2sinx=1 \\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\pi-x \\ sinx=\frac12 \\\end{cases} \)

Получилось простейшее тригонометрическое уравнение относительно x. Его решения запишем в виде двух серий: \(x_1 =\frac{\pi}6+ 2πk, x_2 =\frac{5π}6+ 2πk, \ k\in Z \).

Остается найти соответствующие значения y: \(y_1 = π − x_1 =\frac{5π}6− 2πk, y_2 = π − x_2 =\frac{\pi}6− 2π\).

Как всегда, в случае системы уравнений ответ дается в виде перечисления пар \((x; y)\).

Ответ: \((\frac{ π} 6 + 2πk; \frac{5π} 6 − 2πk ), (\frac{ 5π} 6 + 2πk; \frac{π} 6 − 2πk) , \ k\in Z \).

Пример 2. Решите систему: \(\begin{cases} sinx+cosy=1, \\ sin^2x-cos^2y=1. \\\end{cases}\)

Решение: Замена \(u = sin x, v = cos y\) приводит к алгебраической системе относительно \(u\ и \ v\): \(\begin{cases} u+v=1 \\ u^2-v^2=1 \\\end{cases}\)

Эту систему вы без труда решите самостоятельно. Решение единственно: \(u = 1, v = 0\). Обратная замена приводит к двум простейшим тригонометрическим уравнениям:

\(\begin{cases} sinx=1 \\ cosy=0 \\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{\pi}2+2\pi k, \ k\in Z \\ y=\frac{\pi}2+\pi n, \ n\in Z \\\end{cases}\)

Ответ: \((\frac{\pi}2+2\pi k;\frac{\pi}2+\pi n), n,k\in Z\).