Тригонометрические функции, их графики и свойства

Функция \(y=sinx\)

• Область определения функции – множество всех действительных чисел: \(D(y)=\mathbb R\).
• Множество значений: \(E(y) = [−1;1]\).
• Функция \(y=sinx\) нечетная: \(sin(−x)=−sinx\).
• Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует \(2π: sin(x+2π)=sinx\).
• График функции симметричен относительно начала координат.
• График функции пересекает ось \(OX\) при \(x=πk, k\in \mathbb Z\).
• Промежутки знакопостоянства: \(sinx>0 \ при\ x\in (2πk+0;π+2πk),k\in \mathbb Z; \\ sinx<0\  при \ x\in (π+2πk;2π+2πk),k\in \mathbb Z.\)
• Функция является непрерывной и у нее есть производная с любым значением аргумента: \((sinx)′=cosx\).
• Функция \(y=sinx\) возрастает при \(x\in(−\frac{π}2+2πk;\frac{π}2+2πk),k\in \mathbb Z\), и убывает при \(x\in(\frac{π}2+2πk;\frac{3π}2+2πk),k\in \mathbb Z\).
• Минимум функции при \(x=−\frac{\pi}2+2πk, k\in \mathbb Z\), а максимум при \(x=\frac{\pi}2+2πk, k\in \mathbb Z\).

Функция \(y=cosx\)

• Область определения функции – множество всех действительных чисел: \(D(y)=\mathbb R\), кроме \(x= \frac{\pi}2+\pi k, k\in \mathbb Z\).
• Множество значений: \(E(y) =[-1;1]\).
• Функция \(y=cosx\) четная: \(cos(−x)=cosx\).
• Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует \(2π: cos(x+2π)=cosx\).
• График функции симметричен относительно оси OY.
• График функции пересекает ось \(OX\) при \(x=\frac{\pi}2+πk, k\in \mathbb Z\).
• Промежутки знакопостоянства: \(cosx>0 \ при\ x\in (-\frac{\pi}2+2πk;\frac{π}2+2πk),k\in \mathbb Z; \\ cosx<0\  при \ x\in (\frac{π}2+2πk;\frac{3π}2+2πk),k\in \mathbb Z.\)
• Функция является непрерывной, и у нее есть производная с любым значением аргумента: \((cosx)′=sinx\).
• Функция \(y=cosx\) возрастает при \(x\in[−{π}+2πk;2πk], k\in \mathbb Z\), и убывает при \(x\in[2πk;π+2πk],k\in \mathbb Z\).
• Минимум функции при \(x=\pi+2πk, k\in \mathbb Z\), а максимум при \(x=2πk, k\in \mathbb Z\).

Функция \(y=tgx\)

• Область определения функции – множество всех действительных чисел: \(D(y)=\mathbb R\), кроме \(x= \frac{\pi}2+\pi k, k\in \mathbb Z\).
• Множество значений – множество действительных чисел: \(E(y) = \mathbb R\).
• Функция \(y=tgx\) нечетная: \(tg(−x)=-tgx\).
• Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует \(π: tg(x+π)=tgx\).
• График функции симметричен относительно оси OY.
• График функции пересекает ось \(OX\) при \(x=πk, k\in \mathbb Z\).
• Промежутки знакопостоянства: \(tgx>0 \ при\ x\in (πk;\frac{π}2+πk),k\in \mathbb Z; \\ tgx<0\  при \ x\in (-\frac{π}2+πk;πk),k\in \mathbb Z.\)
• Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: \((tgx)′=\frac1{cos^2x}\).
• Функция \(y=tgx\) возрастает при \(x\in (−\frac{π}2+πk;\frac{π}2+πk), k\in \mathbb Z\).

Функция \(y=ctgx\)

• Область определения функции – множество всех действительных чисел: \(D(y)=\mathbb R\), кроме \(x= \pi k, k\in \mathbb Z\).
• Множество значений – множество действительных чисел: \(E(y) = \mathbb R\).
• Функция \(y=ctgx\) нечетная: \(ctg(−x)=-ctgx\).
• Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует \(π: ctg(x+π)=ctgx\).
• График функции симметричен относительно оси OY.
• График функции пересекает ось \(OX\) при \(x=\frac{\pi}2+πk, k\in \mathbb Z\).
• Промежутки знакопостоянства: \(ctgx>0 \ при\ x\in (πk;\frac{π}2+πk),k\in \mathbb Z; \\c tgx<0\  при \ x\in (-\frac{π}2+πk;πk),k\in \mathbb Z.\)
• Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: \((ctgx)′=-\frac1{sin^2x}\).
• Функция \(y=ctgx\) убывает при \(x\in (πk;π+πk), k\in \mathbb Z\).