Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

Тригонометрические функции, их графики и свойства

Конспект

Функция y=sinx

синусоида

  • Область определения функции – множество всех действительных чисел: D(y)=R.
  • Множество значений: E(y)=[1;1].
  • Функция y=sinx нечетная: sin(x)=sinx.
  • Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: sin(x+2π)=sinx.
  • График функции симметричен относительно начала координат.
  • График функции пересекает ось OX при x=πk, k\in \mathbb Z.
  • Промежутки знакопостоянства: sinx>0 \ при\ x\in (2πk+0;π+2πk),k\in \mathbb Z; \\ sinx<0\  при \ x\in (π+2πk;2π+2πk),k\in \mathbb Z.
  • Функция является непрерывной и у нее есть производная с любым значением аргумента: (sinx)′=cosx.
  • Функция y=sinx возрастает при x\in(−\frac{π}2+2πk;\frac{π}2+2πk),k\in \mathbb Z, и убывает при x\in(\frac{π}2+2πk;\frac{3π}2+2πk),k\in \mathbb Z.
  • Минимум функции при x=−\frac{\pi}2+2πk, k\in \mathbb Z, а максимум при x=\frac{\pi}2+2πk, k\in \mathbb Z.

Функция y=cosx

косинусоида

  • Область определения функции – множество всех действительных чисел: D(y)=\mathbb R, кроме x= \frac{\pi}2+\pi k, k\in \mathbb Z.
  • Множество значений: E(y) =[-1;1].
  • Функция y=cosx четная: cos(−x)=cosx.
  • Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: cos(x+2π)=cosx.
  • График функции симметричен относительно оси OY.
  • График функции пересекает ось OX при x=\frac{\pi}2+πk, k\in \mathbb Z.
  • Промежутки знакопостоянства: cosx>0 \ при\ x\in (-\frac{\pi}2+2πk;\frac{π}2+2πk),k\in \mathbb Z; \\ cosx<0\  при \ x\in (\frac{π}2+2πk;\frac{3π}2+2πk),k\in \mathbb Z.
  • Функция является непрерывной, и у нее есть производная с любым значением аргумента: (cosx)′=sinx.
  • Функция y=cosx возрастает при x\in[−{π}+2πk;2πk], k\in \mathbb Z, и убывает при x\in[2πk;π+2πk],k\in \mathbb Z.
  • Минимум функции при x=\pi+2πk, k\in \mathbb Z, а максимум при x=2πk, k\in \mathbb Z.

Функция y=tgx

тангенсоида

  • Область определения функции – множество всех действительных чисел: D(y)=\mathbb R, кроме x= \frac{\pi}2+\pi k, k\in \mathbb Z.
  • Множество значений – множество действительных чисел: E(y) = \mathbb R.
  • Функция y=tgx нечетная: tg(−x)=-tgx.
  • Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует π: tg(x+π)=tgx.
  • График функции симметричен относительно оси OY.
  • График функции пересекает ось OX при x=πk, k\in \mathbb Z.
  • Промежутки знакопостоянства: tgx>0 \ при\ x\in (πk;\frac{π}2+πk),k\in \mathbb Z; \\ tgx<0\  при \ x\in (-\frac{π}2+πk;πk),k\in \mathbb Z.
  • Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: (tgx)′=\frac1{cos^2x}.
  • Функция y=tgx возрастает при x\in (−\frac{π}2+πk;\frac{π}2+πk), k\in \mathbb Z.

Функция y=ctgx

котангенсоида

  • Область определения функции – множество всех действительных чисел: D(y)=\mathbb R, кроме x= \pi k, k\in \mathbb Z.
  • Множество значений – множество действительных чисел: E(y) = \mathbb R.
  • Функция y=ctgx нечетная: ctg(−x)=-ctgx.
  • Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует π: ctg(x+π)=ctgx.
  • График функции симметричен относительно оси OY.
  • График функции пересекает ось OX при x=\frac{\pi}2+πk, k\in \mathbb Z.
  • Промежутки знакопостоянства: ctgx>0 \ при\ x\in (πk;\frac{π}2+πk),k\in \mathbb Z; \\c tgx<0\  при \ x\in (-\frac{π}2+πk;πk),k\in \mathbb Z.
  • Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: (ctgx)′=-\frac1{sin^2x}.
  • Функция y=ctgx убывает при x\in (πk;π+πk), k\in \mathbb Z.


Вопросы
  1. Для функции y=cos(\frac{x}3+\frac{\pi}4) найдите точку максимума на промежутке [0;6\pi].

  2. Найдите период функции.

    y = sin3x

  3. Найдите наименьший положительный период функции.

    y=cos(4x-3)

  4. Найдите множество значений функции.

    y =3+ sinxcosx

  5. Найдите нули функции y=0,5\cdot tg3x на промежутке [\pi; \frac{\pi}2], вычислите их сумму.

  6. Найдите множество значений функции.

    y=sinx+cosx

  7. Найдите область значений функции.

    y=3-5cosx

  8. Найдите множество значений функции.

     y =1-2sin2x

  9. Найдите наименьший положительный период функции.

    y=tg\frac{\pi-5x}{7}

  10. Найдите множество значений функции.

    у = 1  0,5sin2х

  11. Найдите наименьший положительный период для следующей функции:

    y = 2sin4x\ cos4x.

  12. Найдите множество значений функции.

    у = 3cos0,5х  2

  13. Найдите наименьший положительный период для следующей функции:

    y=sin2x+tg \frac x2.

Сообщить об ошибке