Исследование функции

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Отыскивается область определения функции. Исследование функции начинают с поиска области определения. Под областью определения понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена. При нахождении области определения функции следует обращать внимание на выражения, содержащие дроби, так как знаменатель дроби не может обращаться в нуль. Следует обращать внимание на корни, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
2. Исследуем общие свойства функции: четность; нечетность; периодичность. Функция \(f(x)\) называется четной, если \(f(-x)=f(x)\). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция называется нечетной, если \(f(-x)=-f(x)\). График функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). Если функция ни четная, ни нечетная, то говорят, что функция имеет график общего положения. Если существует \(T\) такое, что для любого \(x\) выполняется условие \(f(x+T)=f(x)\), то функция \(f(x)\) называется периодической. Наименьшее из чисел \(T\), удовлетворяющих указанному условию, называют периодом.

3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат. Абсцисса пересечения с осью \(Ox\) ищется исходя из уравнения \(y=f(x)=0\). Ордината пересечения с осью \(Oy\) ищется подстановкой значения \(x=0\) в выражение функции \(y=f(x)\).

4. Находятся промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция \(y=f(x)\) сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика. Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции \(y=f(x)\), нужно решить неравенства \( f(x)>0 \ и \ f(x)<0\).
5. Ищутся асимптоты графика функции. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. Образно выражаясь, график как бы прилипает к асимптоте. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные. Горизонтальную асимптоту часто рассматривают как частный случай наклонной асимптоты. Прямая \(x=a\) является вертикальной асимптотой графика функции \(y=f(x)\), если выполнено хотя бы одно из условий: \(\lim\limits_{x \to a - 0} f\left( x \right) = \pm \infty ,\;\lim\limits_{x \to a + 0} f\left( x \right) = \pm \infty .\) Прямая \(y=kx+b\) называется наклонной асимптотой графика функции \(y=f(x)\) при \(x→+∞\), если \(\lim\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {kx + b} \right)} \right] = 0.\) Для того чтобы прямая \(y=kx+b\) была асимптотой графика функции \(y=f(x) \ при \ x→+∞\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предела: \({\lim\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = k}\;\;\; {\text{и}\;\;\lim\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - kx} \right] = b.}\) В частном случае, если \(k=0\), мы получаем горизонтальную асимптоту, которая описывается уравнением \(y=b\).

6. Находятся критические точки и интервалы монотонности. Для этого мы следуем привычному алгоритму: а) находим производную \(f'(x)\); б) приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения \(f'(x)=0\) – это стационарные точки; в) находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции. Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции. Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума. Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

7. Ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости. Для определения точек перегиба находят вторую производную. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует. По знаку второй производной в интервалах между точками перегиба определяют направление выпуклости графика функции. Если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз. Если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх.

8. На основании проведенного исследования строим график.

Пример. Провести исследование и построить график функции \(y = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\).

Решение: Функция определена при всех действительных значениях \(x\). Следовательно, функция не имеет вертикальных асимптот. Поскольку \({\lim\limits_{x \to \pm \infty } y\left( x \right) } = {\lim\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{1 + {x^2}}} = 0}\), то график функции имеет горизонтальную асимптоту \(y=0\), то есть асимптотой является ось абсцисс.

Данная функция является четной. Действительно, \({y\left( { - x} \right) = \frac{1}{{1 + {{\left( { - 1} \right)}^2}}} } = {\frac{1}{{1 + {x^2}}} = y\left( x \right)}\).

Очевидно, что функция не имеет корней и положительна при любых \(x\). В точке \(x=0\) ее значение равно \(y\left( 0 \right) = \frac{1}{{1 + {0^2}}} = 1\).

Вычислим первую производную: \({y'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} \cdot {\left( {1 + {x^2}} \right)^\prime } } = { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}}\).

Отсюда видно, что \(x=0\) − стационарная точка. При переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, здесь мы имеем максимум функции. Его значение составляет \(y(0)=1\).

Найдем вторую производную: \({y''\left( x \right) = {\left( { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \right)^\prime } } = { - \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - 2x{{\left( {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} }= { - \frac{{2{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - 2x \cdot 2\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} }= \\= {\frac{{8{x^2} - 2 - 2{x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} } = {\frac{{6{x^2} - 2}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}.}\)

Она равна нулю в следующих точках: \({y''\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{6{x^2} - 2}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{2\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow\\{x_1} = - \sqrt 3 ,\;{x_2} = \sqrt 3 .}\)

При переходе через эти точки вторая производная меняет свой знак на противоположный. Поэтому обе точки являются точками перегиба. Функция строго выпуклая вниз в интервалах \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)\) и \(\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\) и, соответственно, строго выпуклая вверх в интервале \(\left( { - \sqrt 3;\sqrt 3 } \right)\). Найденные точки перегиба в силу четности функции имеют одинаковые значения y: \({y\left( { \pm \sqrt 3 } \right) = \frac{1}{{1 + {{\left( { \pm \sqrt 3 } \right)}^2}}} } = {\frac{1}{{1 + 3}} = \frac{1}{4}}\).

Схематический график функции представлен на рисунке ниже.