Задание 1

Вычислите: \(\text{tg} \Big( {1 \over 2} \arccos{3 \over 5} - 2\text{arctg} \ (-2) \Big).\)

Решение.

Выполним вычисления по действиям.

1. Пусть \(\arccos{3 \over 5} = α,\) тогда \(\cosα = {3 \over 5}.\)

2. Используя формулу \(\text{tg} \ {α \over 2} = \sqrt{1 - \cosα \over 1 + \cosα},\) получаем \(\text{tg} \ {α \over 2} = {1 \over 2}.\)

3. Пусть \(\text{arctg} \ (-2) = β,\) тогда \(\text{tg} \ β = -2.\)

4. Используя формулу \(\text{tg} \ 2β = {2 \ \text{tg} \ β \over 1 - \text{tg}^2β},\) получаем \(\text{tg} \ 2β = {4 \over 3}.\)

5. Используя формулу \(\text{tg} \ (x - y) = {\text{tg} \ x - \text{tg} \ y \over 1+\text{tg} \ x \text{tg} \ y},\) преобразуем исходный пример:

\(\text{tg} \Big( {1 \over 2} \arccos{3 \over 5} - 2 \ \text{arctg} \ (-2) \Big) = \text{tg} \Big( {α \over 2} - 2β \Big) = {\text{tg} {α \over 2} - \text{tg} \ 2β \over 1 + \text{tg} {α \over 2}\text{tg} \ 2β} = \\ = {{1 \over 2} - {4 \over 3} \over 1 + {1 \over 2} \cdot {4 \over 3}} = -{1 \over 2}.\)

Ответ: \(–0,5.\)

Материалы для повторения:

10 класс – Тригонометрические функции – Обратные тригонометрические функции

Сканируй QR код, скачивай приложение и учись вместе с нами

Сканируй QR код, скачивай приложение
и учись вместе с нами