Центральная и осевая симметрия

«Симметрия» – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей.

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки. Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек.

Точки А и В симметричны относительно некоторой точки О, если точка О является серединой отрезка АВ. Точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура называется центрально симметричной.

Алгоритм построения центрально симметричных фигур.

Построим треугольник \(A_1B_1C_1\), симметричный треугольнику ABC относительно центра (точки) O:

1. для этого соединим точки A, B, C с центром O и продолжим эти отрезки;
2. измерим отрезки AO, BO, CO и отложим с другой стороны от точки O равные им отрезки \(AO=OA_1;\ BO=OB_1;\ CO=OC_1\);
3. соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник \(A_1B_1C_1\), симметричный данному треугольнику ABC.

Свойство: Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).

Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является ее центром симметрии.

Осевая симметрия – это симметрия относительно проведенной оси (прямой). Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки.

Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой P, если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии.

Осью симметрии называется прямая при перегибании по которой «половинки» совпадут, а фигуру называют симметричной относительно некоторой оси.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

Построим треугольник \( A_1B_1C_1\), симметричный треугольнику ABC относительно красной прямой:

1. для этого проведем из вершин треугольника ABC прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник \(A_1B_1C_1\), симметричный данному треугольнику ABC.

Свойство: Две симметричные фигуры равны. Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для нее точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.