Квадратный корень. Приближенное значение квадратного корня

Иррациональное число – это не рациональное вещественное число, т. е. оно не может быть представлено как дробь \(\frac{m}{n}\) (как отношение двух целых чисел), где m – целое число, n – натуральное число. Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Иррациональное число не может иметь точного значения. Например, квадратный корень из двух – является числом иррациональным.

Обозначается множество иррациональных чисел большой английской буквой \(I\).

Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают буквой \(R\).

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \(a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). \(\displaystyle (\sqrt{a}=x,\ {{x}^{2}}=a;\ x,a\ge 0)\).

Приближенными значениями квадратного корня из данного числа с точностью до единицы называются два последовательных натуральных числа, из которых квадрат первого меньше, а квадрат второго больше данного числа.

Первое из этих чисел называется приближенным значением корня с недостатком, второе – приближенным значением корня с избытком.

Записываются приближенные значения корня так: \(\sqrt{10}\approx3 (\ с \ нед.); \ \sqrt{10}\approx4 (\ с \ изб.)\).

Пример 1. Найдем приближенное значение \(\sqrt3\) с двумя знаками после запятой. Оценим подкоренное выражение 3 сначала целыми числами. Так как 1 < 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\). Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\)

Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3;... до тех пор, пока вновь не оценим такими числами подкоренное выражение 3. Имеем: 1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1,82 = 3,24. Так как 2,89 < 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\)

Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,71; 1,72; 1,73;..., вновь оценивая подкоренное выражение 3. Имеем: 1,712 = 2,9241; 1,722 = 2,9584; 1,732 = 2,9929; 1,742 = 3,0276. Так как 1,732 < 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\).

Пример 2. Вычислить: \(\sqrt{138384}\).

Решение: Разобьем число на грани: 13^'83^'84 – их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата – 3, так как 3² < 13, тогда как 4² > 13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим A = 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим a = 6. Подберем теперь такую наибольшую цифру x, чтобы произведение двузначного числа ax на x было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как 67 · 7 = 469 – это меньше 483, тогда как 68 · 8 = 544 – это больше 483. Итак, вторая цифра результата – 7.

Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим b = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 37, получим B = 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру y, чтобы произведение трехзначного числа by на y не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как 742 · 2 = 1484. Цифра 2 – последняя цифра результата. В ответе получили 372.

\(\sqrt{138384}=372\)

Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность.