Решение уравнений. Линейное уравнение с одной переменной

Равенство, содержащее неизвестную переменную, называется уравнением.

Всякое значение переменной, при котором выражения принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

При решении уравнений используются следующие свойства:

1. корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю;
2. если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например:

    \(\begin{aligned} 1)\ &6x-7= 11\\ &6x= 11+7\\ &6x= 18\\ &x= 3 \end{aligned}\)           \(\begin{aligned} 2)\ &22+3x=37\\ &3x=37-22\\ &3x=15\\ &x=5 \end{aligned}\)

Если в уравнении присутствуют подобные слагаемые, следует перенести все подобные в одну часть уравнения, а числовые слагаемые в другую и привести подобные, затем найти корни.

Например:
         \(5x + 13 = 3x - 3 \\5x - 3x = - 3 - 13 \\2x = - 16 \\x = -8\)

Линейным уравнение с одной переменной х называют уравнение вида ах + b = 0, где a и b – любые числа (коэффициенты).

Решить линейное уравнение – значит найти все значения переменной (неизвестной), при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения.

Если а = 0 и b = 0, то есть уравнение имеет вид 0 · х + 0 = 0, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней).

Если а = 0 и b ≠ 0, то есть уравнение имеет вид 0 · х + b = 0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет, уравнение не имеет корней.

Алгоритм решения линейного уравнения ax + b = 0 в случае, когда а ≠ 0:

1. преобразовать уравнение к виду ax = –b;
2. записать корень уравнения в виде x = (–b) : а.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или оба не имеют корней. Равносильность уравнений обозначают символом «⇔».

Например: равносильны уравнения 4х – 2 = 0 и 2х – 1 = 0, каждый из них имеет корень х = 0,5.