Числовые неравенства и их свойства

Числовое неравенство – это неравенство, в записи которого по обе стороны от знака неравенства находятся числа или числовые выражения. Решить неравенство – значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным. 

Свойства числовых неравенств

1. Антирефлексивности, которое говорит о том, что любое число a из неравенств a < a и a > a считается неверным. Известно, что для любого a имеет место быть равенство a – a = 0, отсюда получаем, что a = a. Значит, a < a и a > a неверно. Например, 3 < 3 и \(-4\frac{14}{15}>-4\frac{14}{15}\) являются неверными.
2. Ассиметричность. Когда числа a и b являются такими, что a < b, то b > a, и если a > b, то b < a. Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b, тогда a – b является отрицательным числом. А b – a = –(a – b)  положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a – b. Отсюда следует, что b > a. Аналогичным образом доказывается  и вторая его часть.
3. Транзитивность.  Когда числа a, b, c соответствуют условию a > b и b < c,  тогда a < c, и если a > b и b > c, тогда a < c, и если a > b и b > c, тогда a > c.
4. Неравенства, имеющие  в записи знаки  ≤ и ≥, имеют свойства: 

• рефлексивности a ≥ a и a ≤ a считаются  верными неравенствами;
• антисимметричности, когда a ≤  b, тогда b ≥ a, и если a ≥ b, тогда b ≤ a.
• транзитивности, когда a ≤ b и b ≤ c, тогда a ≤ c, а также, если a ≥ b и b ≥ c, то тогда a ≥ c.    

5. Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a < b, тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c.
6. Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c, получим верное неравенство.  Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда  a < b и с  являются положительными числами, то a · c < b · c, а если v является отрицательным  числом, тогда  a · c > b · c.
7. Когда числа a, b, c, d справедливы для неравенств  a < b и c < d, тогда верным считается a + c < b + d. Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
8. Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a < b и c < d, где a, b, c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d  считается справедливым.