Понятие производной. Производная основных функций

Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке.

Производная функции \(y=f(x)\) характеризует скорость изменения \(y\) относительно \(x\). Рассмотрим функцию \(f(x)\), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки \(x_0\). Тогда функция \(f(x)\) является дифференцируемой в точке \(x_0\), и ее производная определяется формулой \({f'\left( {{x_0}} \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}}\).

Для производной используются обозначения: \(f'\left( x \right) = y'\left( x \right) = \frac{{df}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dx}}\).

Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю: \(C'=0\).
2. Производная аргумента равна единице: \(x'=1\).
3. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций: \((u\pm v)'=u'\pm v'\).
4. Константу можно выносить за знак производной: \((c\cdot u(x))'=c\cdot u'(x), c=const\).
5. Производная произведения: \((u\cdot v)'=u'\cdot v+v'\cdot u\).
6. Производная частного: \((\frac{u}{v})'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}\).

Производные основных элементарных функций

Пример 1. Используя определение, найти производную функции: \(y=\frac1{x}\).

Решение:  \({y'\left( x \right) } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{1}{{x + \Delta x}} - \frac{1}{x}}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{{x - \left( {x + \Delta x} \right)}}{{\left( {x + \Delta x} \right)x}}}}{{\Delta x}} }= \\= {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{{ - \Delta x}}{{\left( {x + \Delta x} \right)x}}}}{{\Delta x}} } = { - \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x}}{{ {\Delta x}\left( {x + \Delta x} \right)x}} } = { - \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\left( {x + \Delta x} \right)x}} = - \frac{1}{{{x^2}}}.}\)

Пример 2. Найти производную функции \(y = \large\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{x}\normalsize\), не используя формулу производной частного.

Решение: Разделив числитель на знаменатель почленно, запишем функцию в виде \({y\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{x} } = {\frac{{{x^2}}}{x} + \frac{{3x}}{x} + \frac{1}{x} } = {x + 3 + \frac{1}{x}.}\)

Далее, применяя линейные свойства производной, находим:

\({y'\left( x \right) = {\left( {x + 3 + \frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {{x^\prime } + 3' + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {1 + 0 + \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = {1 - \frac{1}{{{x^2}}} } = {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}}\).

Пример 3. Найти производную функции \(y = {x^2}\cdot sin x\).

Решение: По формуле производной произведения получаем:

\({y'\left( x \right) = {\left( {{x^2}\sin x} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^2}} \right)^\prime }\sin x + {x^2}{\left( {\sin x} \right)^\prime } }= \\= {2x\sin x + {x^2}\cos x } = {x\left( {2\sin x + x\cos x} \right).}\)