+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Производная тригонометрических функций
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

К основным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус (\(sinx\)), косинус (\(cosx\)), тангенс (\(tg x\)), котангенс (\(ctg x\)), секанс (\(secx\)) и косеканс (\(cscx\)). Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция. Они называются, соответственно, арксинус (\(arcsinx\)), арккосинус (\(arccosx\)), арктангенс (\(arctg x\)), арккотангенс (\(arcctg x\)), арксеканс (\(arcsec x\)) и арккосеканс (\(arccsc x\)). Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения.

Таблица производных тригонометрических функций

Производная Область определения
\({\left( {sin x} \right)^\prime } = cos x\) \(- \infty < x < \infty\)
\({\left( {cos x} \right)^\prime } = -sin x\) \(- \infty < x < \infty\)
\({\left( {tg x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{{{cos }^2}x}}\normalsize = {sec ^2}x\) \(x \ne \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)
\({\left( {ctg x} \right)^\prime } = -\large\frac{1}{{{{sin }^2}x}}\normalsize = {-csc ^2}x\) \(x \ne \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)
\({\left( {\sec x} \right)^\prime } = tg xsec x\) \(x \ne \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)
\({\left( {\csc x} \right)^\prime } = -ctg xcsc x\) \(x \ne \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)
\({\left( {arcsin x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize\) \(- 1 < x < 1\)
\({\left( {arccos x} \right)^\prime } = -\large\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize\) \(- 1 < x < 1\)
\({\left( {arctg x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{1 + {x^2}}}\normalsize\) \(- \infty < x < \infty\)
\({\left( {arcctgx} \right)^\prime } = -\large\frac{1}{{1 + {x^2}}}\normalsize\) \(- \infty < x < \infty\)
\({\left( {arcsec x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} - 1} }}\normalsize\) \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\)
\({\left( {arccsc x} \right)^\prime } = -\large\frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} - 1} }}\normalsize\) \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\)

 



Вопросы

  1. Найдите производную функции.

    \(y=arctg(7x+1)\)

  2. Вычислите производную функции \(y=3sin(x-\frac{\pi}3)-\frac{3\sqrt3}2x\) и решите уравнение \(y'(x)=0\).

  3. Найдите производную функции.

    \(y = {sin ^2}\sqrt x\)

  4. Найдите производную функции.

    \(y = {sin ^3}x + {cos ^3}x\)

  5. Найдите производную функции.

    \(y=cos(5-7x)\)

  6. Найдите производную функции.

    \(y = cos 2x - 2sin x\)

  7. Найдите производную функции.

    \(y = tg x + \frac{1}{3}{tg ^3}x\)

  8. Найдите производную функции \(y = arctg \frac{{x + 1}}{{x - 1}},\) при \(\left( {x \ne 1} \right)\).

  9. Найдите производную функции.

    \(y = {cos ^2} {\sin x}\)

  10. Дана функция y(x) = 2tgx − \(\frac1{\sqrt2}\)ctgx. Найдите y'(x).

  11. Дана функция y(x) = 2 sinx − \(\frac1{\sqrt2}\) cosx. Найдите y'(x).

  12. Дана функция y(x) = 2tgx − cosx − 6. Найдите y'(x).

Сообщить об ошибке