+7 (727) 344 95 95
Сдать пробный ЕНТ
Русский

Скачай приложение iTest

Готовься к школьным экзаменам в более удобном формате

logo-device logotype logotype-float

Тригонометрические функции и их свойства. Основные тригонометрические тождества
Предыдущий конспект Следующий конспект
Конспект

Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Рассмотрим окружность с радиусом 1 и с центром в начале координат.

Если для координат точки M1, лежащей на этой окружности, ввести обозначение M1 = (x1; y1), то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство \(x_1^2 + y_1^2 = 1\), а синус, косинус, тангенс и котангенс угла \(α\) будут вычисляться по формулам \(sin\alpha=y_1; \ cos\alpha=x_1; \ tg\alpha=\frac{y_1}{x_1}; \ ctg\alpha=\frac{x_1}{y_1}\).

Из этих формул, в частности, вытекает основное тригонометрическое тождество: \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\).

Таким образом, основное тригонометрическое тождество является теоремой Пифагора, сформулированной с помощью тригонометрических функций.

 

Основные тригонометрические тождества

  1. \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\).
  2. \(tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\).
  3. \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\).
  4. \(ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\).
  5. \(1+tg^2\alpha=\frac1{cos^2\alpha}\).
  6. \(1+ctg^2\alpha=\frac1{sin^2\alpha}\).

Четность, нечетность тригонометрических функций

  1. \(sin(-\alpha)=-sin\alpha\).
  2. \(cos(-\alpha)=cos\alpha\).
  3. \(tg(-\alpha)=-tg\alpha\).
  4. \(ctg(-\alpha)=-ctg\alpha\).

Косинус является четной функцией; синус, тангенс, котангенс – нечетные.



Вопросы

  1. Вычислите.

    \(ctg1140°\)

  2. Вычислите.

    \(sin 810°\)

  3. Вычислите.

    \(sin300° \)

  4. Упростите выражение.

    \(1 + tg^2α – tg^2α · (cos^2α + 1)\)

  5. Упростите выражение.

    \((cosα + sinα)^2 – 2tgα · cos^2α\)

  6. Упростите выражение.

    \(\frac{1-tg^2α+tg^4α}{cos^2α}\)

  7. Вычислите.

    \(\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}, \ если \ tgα=3\)

Сообщить об ошибке