Решение текстовых задач с помощью систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Пример 1. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

Решение: Составим систему уравнений.

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{35}{x}+\frac{35}{y}=1 \\ y=24+x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{35}{x}+\frac{35}{24+x}=1 \\ y=24+x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{35}{x}+\frac{35}{24+x}-1=0 \\ y=24+x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \)

\(\frac{35}{x}+\frac{35}{24+x}-1=0 \\35(24+x)+35x-x(24+x)=0 \\840+35x+35x-24x-x^2=0 \\x^2-46x-840=0 \Rightarrow x_1=60; x_2=-14 =\varnothing \\y=24+x=24+60=84\)

Ответ: \(x=60;y=84\).

Пример 2. Сумма квад­ра­тов цифр дву­знач­но­го числа равна 13. Если от этого числа от­нять 9, то по­лу­чит­ся число, за­пи­сан­ное теми же циф­ра­ми, но в об­рат­ном по­ряд­ке. Най­ди­те ис­ход­ное число.

Решение:

Пусть \(\overline{xy}=10x+y\) – ис­ко­мое число, где x – число де­сят­ков, y – число еди­ниц.

Мы за­пи­са­ли ис­ко­мое число с по­мо­щью двух неиз­вест­ных.

Что нам из­вест­но, чтобы найти x и y?

\(x^2+y^2=13\) – сумма квад­ра­тов цифр равна 13.

\(\overline{xy}-9=\overline{yx} \\10x+y-9=10y+x \\9x=9y+9 \\x=y+1\)

Теперь нужно ре­шить си­сте­му:

\(\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=13 \\ x=y+1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y+1 \\ (y+1)^2+y^2=13 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y+1\\ y^2+2y+1+y^2=13 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow\)

\( \left\{ \begin{array}{l} x=y+1\\ 2y^2+2y-12=0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y+1\\ y^2+y-6=0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y_1=2\\ y_2=-3 \ не \ подходит \ \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=2 \\ \end{array} \right. \)

Ответ: 32.