Осевая и центральная симметрия. Параллельный перенос, поворот – как движение плоскости

Движение – это отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры совместить (наложить) друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Одно из таких движений – осевая симметрия. Каждой точке в плоскости по определенному закону ставится в соответствие другая точка той же плоскости.

Точки M и M₁ являются симметричными относительно прямой а, если она проходит через центр отрезка MM₁, и если она расположена под прямым углом к этому отрезку. Все точки рассматриваемой прямой а считаются симметричными сами себе. Фигура считается симметричной относительно прямой а, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для нее точка относительно прямой а также находится на этой фигуре. Прямая а является в этом случае осью симметрии фигуры (фигура с осевой симметрией).

Другим частным случаем отображения плоскости на себя является центральная симметрия. Точка плоскости M переходит в точку плоскости M₁ по следующему закону:

1. Из точки M проводится прямая, соединяющая точку с центром симметрии (точкой O).

2. На прямой откладывается отрезок \(OM_1=OM\), и находится точка \(M_1\).

Фигура симметрична относительно точки О, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Точка О – это центр симметрии. Есть фигуры с центральной симметрией – это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии – это ее центр, у параллелограмма центр симметрии – это точка, в которой пересекаются его диагонали.

Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.

Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.

Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает – задать вектор.

Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т. е. AB = A₁B₁.

Если одна фигура получена из другой фигуры поворотом всех ее точек относительно центра O на один и тот же угол в одном и том же направлении, то такое преобразование фигуры называется поворотом.

Чтобы поворот имел место, должен быть задан центр O и угол поворота α.

Против часовой стрелки положительный угол поворота, наоборот – отрицательный угол поворота (так же, как углы поворота в единичной окружности).

Обозначим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол α (угол поворота). Треугольник ABC повернут в положительном направлении (приблизительно на α = 45 градусов). При этом точка О остается на своем месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одинаковом направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки.