Показательные неравенства и их системы

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной функции. Известно, что:

• при основании больше единицы показательная функция возрастает;
• при положительном основании меньше единицы показательная функция убывает.

Неравенство вида \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\) в зависимости от основания эквивалентно следующему:

• при \(a>1\Rightarrow   f(x)>g(x)\);
• при \(0.

Неравенство вида \(\(a^{f(x)}\) эквивалентно следующему неравенству:

• при \(a>1 \(\Rightarrow\) f(x);
• при \(0g(x)\).

При решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется.

Если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Пример 1. Решить неравенство: \((0,3)^{\frac{x}{x-2}}<(0,3)^{\frac{6}{x-1}}\).

Решение: Так как основание степеней – \(0,3<1\), при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

\(\frac{x}{x-2}>\frac{6}{x-1}\).

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

\(\frac{x}{x-2}-\frac{6}{x-1}>0 \Rightarrow \frac{x(x-1)-6(x-2)}{(x-1)(x-2)}>0 \Rightarrow \frac{x^2-7x+12}{(x-1)(x-2)}>0\).

Корни числителя: \(x_1=3, x_2=4\).

\(\frac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)}>0\).

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: \(x\in(-\infty;1)\cup(2;3)\cup (4;+\infty)\).

Решением системы неравенств называют значение переменной, которое каждое из неравенств системы обращает в верное числовое неравенство. Чтобы найти решение системы неравенств, надо найти пересечение множеств входящих в нее неравенств.

При решении систем показательных неравенств, применяются те же приемы, что при решении систем алгебраических неравенств (метод подстановки, метод сложения, метод введения новых переменных). Во многих случаях, прежде чем применить тот или иной метод решения, следует преобразовать каждое неравенство системы к возможно более простому виду.

Пример 2. Решить систему неравенств: \(\begin{cases} 6^x+(\frac16)^x>2, \\ 2^{x^2}\le 4\cdot 2^x.\\ \end{cases}\)

Решение: По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

\(\begin{cases} 6^x+\frac1{6^x}>2 \\ 2^{x^2}\le 4\cdot 2^x\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6^{2x}+1>2\cdot 6^x \\ 2^{x^2}\le2^{x+2}\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (6^x-1)^2>0 \\ x^2\le x+2\\ \end{cases} \Rightarrow \\ \begin{cases} 6^x\ne 1 \\ x^2- x-2\le 0\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x\ne 0 \\ -1 \le x \le2\\ \end{cases} \Rightarrow x\in[-1;0)\cup(0;2].\)

Ответ: \(x\in[-1;0)\cup(0;2]\).