Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Перпендикулярные плоскости

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

\(\angle(l;\beta)=\angle(l;m)\), где m – проекция \(l\) на плоскость \(\beta\)

Двугранным углом называют часть пространства, ограниченную двумя полуплоскостями с общей границей.

Полуплоскости \(\alpha\) и \(\beta\), ограничивающие двугранный угол, называют гранями двугранного угла, а их общую границу AB называют ребром двугранного угла.

Двугранные углы называют равными двугранными углами, если их можно совместить.

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.

Этот угол не зависит от выбора такой плоскости.

Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.

\(\angle(\alpha ; \beta)=\angle(a;b)\),

где \(\gamma \perp l,\ \alpha \cap \beta=l,\ \gamma \cap \alpha=a,\ \gamma \cap \beta =b\).

При пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла. Наименьший из этих углов обычно и называют углом между плоскостями.

Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Если при пересечении двух плоскостей образовалось 4 равных двугранных угла, то такие двугранные углы называют прямыми двугранными углами, а сами плоскости называют перпендикулярными плоскостями.

Выберем произвольную точку С на ребре AB двугранного угла и проведем через нее перпендикуляры CD и CE в каждой из граней двугранного угла. Угол DCE, образованный перпендикулярами CD и CE, называют линейным углом двугранного угла.

На рисунке угол \(\phi\) является линейным углом двугранного угла с гранями \(\alpha\) и \(\beta\) и ребром AB. Линейные углы двугранных углов используются, в частности, для того, чтобы измерять двугранные углы. Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Плос­ко­сти на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми, если угол между ними равен 90°.

Если плос­ко­сти \(\alpha\) и \(\beta\) пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой \(l\), а плос­кость \(\gamma\) пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой \(l\), то плос­кость \(\gamma\) пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти \(\alpha\) и плос­кость \(\gamma\) пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти \(\beta\).