Логарифмдік функция, қасиеттері

Логарифм туралы түсінік

1. b санының негізі а болғандағы логарифмі дегеніміз – b саны шығу үшін негіз шығарылатын дәреже көрсеткіш.

a негіздегі b санының логарифмі \(\log_a^b\) деп белгіленеді.

2. Егер a > 0, a ≠ 1, b > 0, онда a^log_ab=b теңдігі логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі деп атайды.

Мысалы, \(3^{\log_3^6}=6\), \(3^{\log_3^7}=7\).

3. Ондық логарифмді\(\log_{10}\) b, мұндағы b – кез-келген оң сан, lgb деп жазады.

Логарифмдік функция, қасиеттері

1. N > 0 үшін ғана орындалады (мұндағы a > 0, a ≠ 1).

2. log_a N – негізі a > 1 әрі N > 1 болса, онда логарифмнен оң сандар, ал

0 < N < 1 болса, онда теріс сандар шығады. Мысалы, \(log_25>0,\ \ log_2\frac{1}{3}<0.\)

3. log_a N – негізі 0 < a < 1 әрі N > 1 болса, онда логарифмнен теріс сандар, ал a < N < 1 болса, онда оң сандар шығады.

Мысалы, \(log_{\frac{1}{2}}5<0,\ \ \ log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}>0.\)

4. Егер \(a>1\), онда \(\log_aN_1<log_aN_2\) теңсіздігінен \(N_1>N_2\) екені шығады.

Мысалы, \(\log_37>\log_35\) осыдан 7 > 5.

6. Егер 0 < a < 1, онда \(\log_aN_1<log_aN_2\) теңсіздігінен екені шығады.

Мысалы,\( \log_\frac{1}{3}9\) , осыдан 9 > 7.

7. log_a1 = 0 (a > 0, a ≠ 1).

8. log_aa = 1 (a > 0, a ≠ 1).

y = log_a x функциясының қасиеттері, егер a > 1:

А) D(f) = R;

Б) E(f) = R;

В) функция өспелі;

Г) егер x = 1 болса, онда log_a x = 0;

Д) егер 0 < x < 1 болса, онда log_a x < 0;

Е) егер x > 1 болса, онда log_a x > 0.

y = log_a x функциясының қасиеттері, егер 0 < a < 1:

А) D(f) = R;

Б) E(f) = R;

В) функция кемімелі;

Г) егер x = 1 болса, онда log_a x = 0;

Д) егер 0 < x < 1 болса, онда log_a x > 0;

Е) егер x > 1 болса, онда log_a x < 0.

Логарифм формулалары

\(1.\ log_a(N_1N_2..N_K)=log_aN_1+log_aN_2+...+log_aN_k,\\ мұндағы\ a>0,\ \ a\neq1,\ \ N_i>0.\\ Мысалы,\ log_a(3\cdot4\cdot6\cdot7)=log_a3+log_a4+log_a6+log_a7.\)

\(2.\ log_a\frac{N_1}{N_2}=log_aN_1-log_aN_2.\ Мұндағы\ a>0,\ \ a\neq1,\ \ N_1>0,\ N_2>0.\\ Мысалы,\ log_a\frac{3}{4}=log_a3-log_a4.\)

\(3.log_aN^c=clog_aN,\ \ мұндағы\ N>0,\ a>0,\ a\neq1.\\ \)

Ескерту: Егер N<0, ал с - жұп сан болса, онда мына формула:\(log_aN^c=clog_a|N|,\ мұндағы\ a>0,\ a\neq1.\)

Мысалы, \( log_a(-3)^4=4log_a|-3|.\)

4. b негізден а негізге көшу формуласы:

\(log_bN=\frac{log_aN}{log_ab},\ мұндағы\ N>0,\ a>0,\ a\neq1,\ b>0,\ b\neq1.\\ Мысалы,\ log_27=\frac{log_47}{log_42}=\frac{lg7}{lg2}.\)

\(5.\ log_ba=\frac{1}{log_ab},\ немесе\ 1=log_ba\cdot log_ab,\ мұндағы\ a>0,a\neq1,b>0,b\neq1\\ Мысалы,\ 1=log_27\cdot log_72.\)

\(6.\ log_{a^k}N=log_aN^\frac{1}{k}=\frac{log_aN}{k},\ мұндағы\ a>0,a\neq1,N>0,k\neq0.\\ Мысалы,\ log_864=log_{2^3}2^6=\frac{6}{3}log_22=2.\)